§ 35. Теорема Менгера

Из теоремы 34.1 следует, что граф 2-связен тогда и только тогда, когда любые две его несовпадающие вершины а и b соединены парой простых (а, b)-цепей, не имеющих общих вершин, за исключением а и b. Аналогичный критерий k-связности справедлив при произвольном k.

Говорят, что множество вершин S разделяет несмежные вершины а и b связного графа G, если в графе G — S вершины а и b принадлежат различным связным компонентам. В этой ситуации множество S называют также сепаратором или (а, b)-сепаратором. Две (а, b)-цепи графа G называют непересекающимися, если у них нет общих вершин, за исключением а и 6, и реберно-непересекающимися, если у них нет общих ребер. Очевидно, не- пересекающиеся цепи являются и реберно-непересекающимися, а обратное, вообще говоря, неверно.

К. Менгер доказал в 1927 году следующую теорему, устанавливающую соотношение между числом непересекающихся простых цепей, соединяющих две несмежные вершины графа, и его связностью

Теорема Менгера. Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины графа а и b, равно наибольшему числу попарно непересекающихся простых (а, b)-цепей этого графа.

Приведем доказательство, принадлежащее В. Маквайгу (1982г.).

Ясно, что если k вершин разделяют а и k, то существует не более k попарно непересекающихся (а, b)-цепей. Остается показать, что если в графе G нет множества, содержащего менее чем k вершин, разделяющих несмежные вершины а и 6, то в нем имеются k попарно непересекающихся цепей. Используем индукцию по k. Утверждение правильно при k = 1. Предположим, что оно верно для некоторого k ) 1. Рассмотрим, граф G, в котором несмежные вершины а и b нельзя разделить множеством, содержащим менее чем k + 1 вершин. По предположению индукции в G имеется k попарно непересекающихся (а, b)-цепей P₁, Р₂, ..., P_k. Рассмотрим множество вторых (считая c первой) вершин в этих цепях. Это множество состоит из k вершин и, следовательно, «но не разделяет вершины а и b. Значит, имеется (а, b}-цепь Р, первое ребро которой не принадлежит ни одной из цепей Pi (i = 1, k). Пусть v — первая, считая от а, вершина Р, принадлежащая одной из Pi (i = 1, k), и пусть P_h+1 обозначает (а, v)-подцепь цели Р. Цепи pi, ..., P_k, P_k+1 могут быть выбраны, вообще говоря, многими различными способами. Выберем их так, чтобы в графе G — а расстояние от v до b было минимально. Если окажется, что v = b, то pi, p2, . ...., р_k+1 будет требуемым набором из k+1 цепей. Допустим, что v не=b. Тогда в графе G — v вершины а и & нельзя разделить множеством, содержащим менее чем k вершин. По индуктивному предположению в этом графе имеется k непересекающихся (a, b)-цепей Q₁, Q₂, . ..Q_k., которые могут быть выбраны разными способами. Выберем их так, чтобы множество

включало минимальное число ребер этих цепей. Иначе говоря, цепи Q_i должны состоять «в основном» из ребер цепей P_i. Рассмотрим теперь граф Н, состоящий из вершин и ребер цепей Q₁,Q₂,...Q_k и вершины v (эта вершина будет в графе Н изолированной). Пусть Р_r — одна из цепей P_i (i = 1, k + 1), у которой ребро, инцидентное вершине а, не принадлежит ЕН. Ясно, что такая цепь среди Р_i (i = 1, k + 1) найдется, поскольку число их равно k + 1, а цепей Q_i, составляющих Я, только k. Пусть, далее, х — первая, считая от а, вершина Р_r, входящая в VH.

Если х = b, то, добавив цепь Р_r к Q₁, Q₂, ..., Q_k, получим требуемый набор из k + 1 (а, b)-цепей. Допустим, что х не=b, и рассмотрим другие возможности для х.

Если х = v, то обозначим через Л кратчайшую (и, b)-цепь в G — а. Пусть z— первая, считая от v, вершина цепи R, лежащая на некоторой Q_j (j = 1, k). Объединим цепь Р_г с (v, z)-подцепью цепи R и обозначим полученную (а, z)-цепь через Q_k+1. Цепи Q₁, Q₂, ..., Q_k, Q_k+1 обладают тем свойством, что расстояние в графе G — а от z до b меньше, чем расстояние от v до b, а это противоречит выбору Р1, Р2, ..., P_k, P_k+1.

Рассмотрим теперь последнюю возможность: х принадлежит некоторой цепи Qi (i=1, k). В этом случае (а, х) -подцепь цепи Q_t имеет ребра в L, иначе бы две цепи в {P1, Р₂, ..., P_k, P_k+1) пересекались в вершинах, отличных от а, 6, v. Заменив теперь (а, х) -подцепь Q _iна (а, x)-подцепь Р_г, получим непересекающиеся (а, 6)-цепи в графе G — v, и эти цепи будут использовать меньше ребер из L, чем Q₁, ..., Q_k. Снова получаем противоречие, которое и завершает доказательство теоремы. Из теоремы Менгера непосредственно вытекает Теорема 35.1 (X. Уитни, 1932 г.). Граф k-связен тогда и только тогда, когда любая пара его несовпадающих вершин соединена по крайней мере k непересекающимися цепями.

Имеется несколько аналогов и обобщений теоремы Менгера. Здесь мы остановимся на реберном варианте этой теоремы.

Во многих прикладных задачах приходится рассматривать множество ребер (а не вершин, как ранее), разделяющих вершины а и b графа G, т. е. такое множество ребер R, что а и b входят в различные компоненты графа G — R. Минимальное относительно включения множество R с этими свойствами называется (а, b)-разрезом графа G.

Теорема 35.2. Наибольшее число реберно-непересекающихся цепей, соединяющих две вершины графа, равно наименьшему числу ребер, разделяющих эти вершины,

Доказательство этой теоремы легко получить, используя теорему Менгера. С этой целью сопоставим графу G граф G', который получается из G следующим образом. Каждая вершина v .VG заменяется группой из

deg v попарно смежных вершин, а ребра графа G'', соединяющие вершины из разных групп, находятся в биективном соответствии с ребрами графа G (рис. 35.1). Если в графе G нет (а, b)-разреза, содержащего менее чем k ребер, то в G' нет множества, имеющего менее чем k вершин, разделяющего какую-либо пару вершин а', b' из групп, соответствующих а и b. Тогда по теореме Менгера вершины а' и b' соединены в G' по крайней мере k вершинно-непересекающимися цепями, которым соответствует столько же реберно-непересекающихся (а, b)-цепей графа G.

С другой стороны, ясно, что граф, имеющий (а, b) -разрез из k ребер, может содержать не более k реберно-непересекающихся (а, b)цепей.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Докажите, что λ(К_n)= n — 1.

2. Докажите, что для всякого кубического графа G справедливо равенство x(G) = λ(G).

3. Докажите, что кубический двудольный граф не имеет мостов.

4. Пусть |G| 4 и G — минимально 2-связный граф, т. в. та кой, который перестает быть 2-связный при удалении любого ребра. Покажите, что G не содержит треугольников.

5. Покажите, что в минимально 2-связном графе любая вер шина смежна с вершиной степени 2.

6. Пусть G — связный граф и |G| > k. Покажите, что граф G^k является k-связным.

7. Покажите, что реберный граф L(G) любого k-связного графа G также является k-связным.

8. Докажите, что в 3-связном графе через любые три вершины проходит простой цикл.

9. Докажите или опровергните утверждение: всякий 2-связный граф G, для которого β(G) 4, содержит два ребернонепересекающихся остовных дерева.

10. Докажите или опровергните утверждение: граф, являющийcя объединением двух реберно-пепересекающихся остовных деревьев, 2-связен.

11. Какое наибольшее число точек сочленения может быть в графе порядка n?

12. Докажите, что граф, полученный из k-связного графа удалением s ребер (s < k), является (k — s)-связным.

13. Докажите, что для любого k-связного графа G число паросочетания a₁(G) удовлетворяет неравенству

a₁(G)  [(k + l)/2]

([а] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее а).

14. Пусть X — минимальное разделяющее множество вершин графа G и G1, G₂, ..., G_k — компоненты графа G — X. Докажите, что

для любых х  X и i = 1, k найдется такая вершина у . VG_i, что хуEG.