- •Глава I
- •§ 1. Определение графа
- •§ 2. Подграфы
- •§ 3. Операции над графами
- •§ 4. Цепи, циклы, компоненты
- •§ 5. Степени вершин графа
- •§ 6. Матрицы, ассоциированные с графом
- •§ 7. Регулярные графы
- •§ 8. Метрические характеристики графа
- •§ 9. Критерий двудольности графа
- •§10. Реберный граф
- •§ 11. Группа автоморфизмов графа
- •§ 12. «Почти все» графы
- •Упражнения
- •Глава II Деревья
- •§ 13. Определение дерева
- •§ 14. Матричная теорема Кирхгофа
- •§ 15. Остов минимального веса
- •Упражнения
- •Глава III
- •§ 16. Азбука теории матроидов
- •§ 17. Двойственный матроид
- •§ 18. Примеры матроидов
- •§ 19. Изоморфизм матроидов
- •§ 20. Представление матроида
- •§ 21. Бинарные матроиды
- •§ 22. Трансверсали
- •§ 23. Жадный алгоритм
- •§ 24. Объединение и пересечение матроидов
- •Глава IV Независимость и покрытия
- •§ 25. Независимые множества и покрытия
- •К. Шеннон ввел параметр
- •§ 26. Клика
- •§ 27. Проблемы клики, изоморфной вложимости и изоморфного подграфа
- •§ 28. Интерпретации независимых множеств
- •§ 29. Паросочетания
- •§ 30. Паросочетания в двудольном графе
- •§ 31. Двудольные графы и семейства подмножеств
- •§ 32. Паросочетания и покрытия
- •Упражнения
- •Глава V
- •§ 33. Вершинная связность и реберная связность
- •Чтобы учесть эту и подобные ей ситуации, естественно ввести следующее распределение: максимальный k-связный подграф графа называется его k-связной компонентой, или просто k-компонентой.
- •§ 34. Двусвязные графы
- •§ 35. Теорема Менгера
§ 2. Подграфы
Г раф H называется подграфом (или частью) графа G, если VH VG, EH EG. Если H – подграф графа G, то говорят, что H содержится в G. Подграф H называется остовным подграфом (или фактором), если VH=VG. Если множество вершин подграфа H есть U, а множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат U, то H называется подграфом, порожденным (или индуцированным) множеством U, и обозначается через G(U). На рис. 2.1 изображены граф G и три его подграфа H1, H2 и H3, среди которых H3 является остовным, a H2 — порожденным.
Рассматриваются также подграфы, порожденные множествами ребер. Для E' EG множество ребер порожденного подграфа G(E') совпадает с E', а множество вершин — с множеством концов ребер из E'.
В ажный класс подграфов составляют подграфы, полученные в результате удаления вершин. Пусть v — вершина графа G. Граф Gv = G — v получается из графа G в результате удаления вершины v и всех инцидентных ей ребер. Очевидно, что Gv = G(VG\v). На рис. 2.2 изображен подграф G — 5, полученный из графа G, представленного на рис. 2.1, удалением вершины 5.
С графами Gv связана знаменитая гипотеза реконструируемости Келли — Улама. Для каждой вершины v VG построим подграф Gv = G – v. Систему {Gv: v VG} всех таких подграфов назовем колодой графа G и обозначим через P(G). Например, если G = P3, то P(G)= {K2 , K2 , O2}.
Пусть |G|=n. Перенумеруем в произвольном порядке вершины графа G числами 1, 2, .... n и выпишем графы, входящие в колоду P(G):
P(G)={G1, G2, ..., Gn}, Gi=G-i, i=
Пусть теперь H — еще один граф порядка п. Если существует такая нумерация вершин графа H, при которой Gi Hi (i = ), то колоды P(G) и P(H) называются равными: P(G) = P(H). Например, P(K2) = P(O2) ={O1,O1}.
Граф H называется реконструкцией графа G, если P(H) = P(G).
Граф G называется реконструируемым, если он изоморфен каждой своей реконструкции. Не все графы реконструируемы: O2 и K2 являются реконструкциями друг друга. Гипотеза Келли — Улама утверждает, что это единственное исключение.
Гипотеза реконструируемости (П. Келли, С. Улам, 1945 г.). Все графы порядка n > 2 реконструируемы.
Несмотря на простоту формулировки, вот уже более сорока лет проблема не поддается решению. Любопытно и то, что нет единого мнения об истинности или ложности гипотезы. Подтверждена реконструируемость графов порядка n для 3 <= n<= 10. Известно, что если граф G реконструируем, то дополнительный граф также реконструируем.
Гипотезу Келли — Улама часто называют гипотезой вершинной реконструируемости. Наряду с ней для графов, имеющих более трех ребер, существует гипотеза Харари реберной реконструируемости (1964 г.). Она формулируется аналогично вершинной, но вместо вершины удаляется ребро: для ребра e графа G подграф Ge = G — e получается из G в результате удаления ребра e (концы ребра не удаляются, т. е. G — e является остовным подграфом). Гипотеза реберной реконструируемости подтверждена для многих классов графов. В частности, известно, что (n, т)-граф реберно реконструируем, если m>n(n-l)/4 (Л. Ловас, 1972 г.) или 2m-l>n! (В. Мюллер, 1977 г.).
Пусть X — множество каких-либо элементов графа G. Аналогично подграфу G — v определяется подграф G — X: из G удаляются все вершины и ребра, входящие в X, и каждое ребро, хотя бы один конец которого принадлежит X. Если, например, X = {v, e1, e2}, то G — X = ( (G — v)— e1) — e2. Порядок удаляемых элементов несуществен, поэтому можно писать просто G — X = G — v — e1 — e2.