3. Надежность восстанавливаемого элемента Типовые задачи с решениями

3.1. Время восстановления элемента пренебрежимо мало

Примем далее, что поток отказов элемента является простейшим потоком, т. е. потоком Пуассона. Вероятность того, что за время t произойдет ровно k отказов, в этом случае определяется как

(3.1)

Вероятность того, что за время t число отказов превысит n, будет

. (3.2)

При достаточно большом значении n ряд, входящий в (3.2), может быть при использовании центральной предельной теоремы Ляпунова просуммирован:

, (3.3)

где – функция (интеграл) Лапласа;

– математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение времени наступления n-го отказа (Т_n.).

3.1.1. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Какое число запасных элементов необходимо иметь, чтобы их хватило на бесперебойную эксплуатацию в течение года с вероятностями 0.90, 0.95 и 0.99? Интенсивность потока отказов элемента l = 5 1/год.

Решение

Применим для решения асимптотическое выражение (3.3). Для надежной эксплуатации элемента необходимо, чтобы число запасных элементов n отвечало условию где Р = 0.90; 0.95 и 0.99. Следовательно:

и .

Из последнего выражения получаем n » 9, » 11 и » 14 при Р = 0.90; 0.95 и 0.99 соответственно.

3.1.2. Элемент эксплуатируется с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления. Какова должна быть интенсивность отказа единичного элемента, чтобы при его эксплуатации в течение года потребовалось с вероятностью не менее 0.95 не более трех замен?

Решение

В рассматриваемой задаче из-за малого значения n нельзя воспользоваться асимптотическим выражением (3.3). Поэтому в соответствии с (3.2) будем иметь:

(3.4)

Или при t = 1 год и при замене знака неравенства знаком равенства выражение (3.4) запишется в виде

(3.5)

Решая трансцендентное уравнение (3.5) каким-либо численным методом, получим l = 1.36 1/год.

3.2. Время восстановления элемента соизмеримо со временем его эксплуатации до отказа

Одной из основных характеристик этого процесса является коэффициент готовности K_г(t), т. е. вероятность того, что в момент времени t элемент находится в исправном состоянии. В случае, если потоки отказов и восстановлений являются потоками Пуассона и рассматрива-ется стационарный режим эксплуатации, коэффициент готовности

K_г = , (3.6)

где l и m – интенсивности потоков отказов и восстановлений элемента.

Вводится также понятие наработки на отказ Т_t в течение времени эксплуатации элемента t. При пуассоновских потоках отказов и восстановлений закон распределения суммарной наработки на отказ асимптотически нормален, причем М[T_t] = K_гt =  , D[T_t] = =

Можно оценить доверительный интервал для времени наработки на отказ при некоторой доверительной вероятности Р_д:

Р_д = Р(t₁ £ T_t £ t₂) = F0 (3.7)

3.2.1. Элемент эксплуатируется с заменами при конечном времени его восстановления. Интенсивности потоков отказов и восстановлений составляют l = 0.5 1/ч и m = 0.2 1/ч. Математическое ожидание времени наработки на отказ за время t составляет М[T_t] = 600 ч. Определить вероятность того, что время наработки на отказ будет находиться в диапазоне 550...650 ч.