Задача 3

На плоскости даны два вектора = {2; – 3} и = {1; 2}. Найти разложение вектора = {9; 4} по базису и .

Решение: Так как векторы и неколлинеарны, то вектор можно единственным образом выразить через эти векторы: = m + n . Это соотношение и называется разложением вектора по базису и . Надо найти числа m и n. Для этого проделаем следующее:

= 9 + 4 , = 2 – 3 , = + 2 ,

тогда

отсюда

Окончательно, = 2 + 5 .

Задача 4

Даны координаты вершин А(0; 0; 1), В(2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2) пирамиды ABCD. Требуется:

1) записать векторы в системе орт , , и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани ABC;

5) найти объем пирамиды ABCD;

6) составить уравнение ребра AC;

7) составить уравнение грани ABC.

1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , , по формуле

= a_x + a_y + a_z , (1)

где a_x, a_y, a_z – координаты вектора в системе координат, порожденной ортами, причем

a_x = np_Ox , a_y = np_Oy , a_z = np_Oz .

Если заданы точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), то для вектора = .

,

то есть

. (2)

Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек А, В, С, D получим:

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:

(3)

Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:

2. Известна формула cos  = где  ·  – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

· = .

У нас

cos φ = cos =

то есть .

3. Известно, что

,

то есть в нашем случае

4. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и :

,

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причем

Таким образом,

(кв.ед.).

5. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах , можно найти по формуле

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас где

то есть (куб. ед.).

6. Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пространства и , имеет вид:

(4)

Подставив в (4) координаты точек A и C, получим

то есть уравнение ребра AC окончательно запишется следующим образом:

или .

7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки можно записать в виде:

.

Подставляя в него координаты точек A, B, C, получим

Задача 5

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний, которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой x = 1 равно 2.

Решение.

В системе координат xOy построим точку А(4; 0) и прямую х = 1.

Пусть М(х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Отпустим перпендикуляр МВ на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1, ордината точки В равна ординате точки В. Следовательно, В(1; у)

По условию задачи, МА : МВ = 2. Расстояния МА и МВ находим по формуле

Тогда имеем:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим:

или

Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось равна 2, а мнимая равна т.е.

a = 2, b = .

Определим фокусы гиперболы.

Для гиперболы выполняется равенство c² = a² + b². Следовательно, c² = 4 + 12 = 16, с = 4. F₁(– 4; 0), F₂(4; 0) – фокусы гиперболы. Заданная точка А(4; 0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнение асимптот гиперболы имеет вид и . Следовательно, или , – асимптоты гиперболы.

Рисунок 2