- •Ен. Ф. 01 математика Методические указания и варианты заданий к контрольной работе № 1
- •280402 Природоохранное обустройство территорий
- •Введение
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Метод Гаусса
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Расчетные задания Задание № 1
- •Задание № 2
- •Задание № 3
- •Задание № 4
- •Задание № 5
- •Библиографический список
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
|
Кафедра математики
Ен. Ф. 01 математика Методические указания и варианты заданий к контрольной работе № 1
Специальности: 250201 Лесное хозяйство
280402 Природоохранное обустройство территорий
Уфа 2009
УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета лесного хозяйства (протокол № 6 от 24.04.2009 года)
Составители: доцент, к.соц.н. Саитова Р.З.
доцент, к.физ.-мат.н. Маннанов М.М.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики
доцент, к.физ.-мат.н. Лукманов Р.Л.
Введение
Целью настоящих методических указаний является помощь студентам в освоении и закреплении следующих разделов математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия.
Расчетно-графическая работа № 1 состоит из 5 заданий. В каждом задании 30 вариантов. Номер варианта студент выбирает по формуле: № = a · b + c, где a – номер задания, b и с – предпоследняя и последняя цифры шифра (номера зачетной книжки или студенческого билета).
Например, номер студенческого билета (зачетки) студента 1265. Тогда в первом задании этот студент выполняет вариант: № = 1 · 6 + 5 = 11. Во втором задании: № = 2 · 6 + 5 = 17 и т.д. Если получается вариант больше 30, то нужно вычитать 30. Например, для этого же студента третье задание будет высчитываться: 5 · 6 + 5 = 35. Следовательно, этот студент решает 35 – 30 = 5 – пятый вариант третьего задания.
Прежде чем приступать к выполнению работы, целесообразно изучить соответствующие разделы в учебниках, рекомендованных в библиографическом списке.
Примеры решения задач Задача 1
1-й способ решения
Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему
Подсчитаем сначала главный определитель системы ∆, воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:
= а11 · – а12 · + а13 · .
У нас ∆ = = 1 ∙ (1 – 12) + 2 ∙ (2 – 9) + 1 ∙ (8 – 3) = – 20.
Так как ∆ ≠ 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители ∆x, ∆y, ∆z:
∆x = = 4 · (1 – 12) – (– 2) · (5 + 6) + 1 · (20 + 2) = 0,
∆y = = 1 · (5 + 6) – 4 · (2 – 9) + 1 · (– 4 – 15) = 20,
∆z = = 1 · (– 2 – 20) – (– 2) · (– 4 – 15) + 4 · (8 – 3) = – 40.
Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим
x = = 0, y = = – 1, z = = 2.
Всем трем равенствам они удовлетворяют, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения: x = 0; y = – 1; z = 2.
2-й способ решения
Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:
Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных x, y, z и Н – матрицу-столбец свободных членов:
А = , Х = , Н = .
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
А · Х = Н. (1)
Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А–1. Умножив обе части уравнения (1) на А–1 слева, получим:
А–1 · А · Х = А–1 · Н.
Но А–1 · А = Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому
Х = А–1 · Н. (2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А–1.
Пусть имеем невырожденную матрицу
А = . Тогда А–1 = ,
где Аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (– 1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки j-го столбца в определителе матрицы А, т.е. Aij = (– 1)i+j · Mij.
Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.
∆ = = 10 ≠ 0, следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А–1.
А11 = (– 1)1+1 ∙ = 5, А21 = (– 1)2+1 ∙ = 3,
А12 = (– 1)1+2 ∙ = – 5, А22 = (– 1)2+2 ∙ = 1,
А13 = (– 1)1+3 ∙ = – 5, А23 = (– 1)2+3 ∙ = – 1,
А31 = (– 1)3+1 ∙ = – 1, А32 = (– 1)3+2 ∙ = 3,
А33 = (– 1)3+3 ∙ = 7.
Тогда А–1 = = .
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
Х = А–1 · Н = · · = = · = · = .
Отсюда x = 3, y = 0, z = – 2.
3-й способ решения