§12 Неоднородные линейные уравнения высших порядков
Имеем линейное неоднородное уравнение n-ого порядка
где
- непрерывные функции от х или постоянные
числа.
Пусть нам известно общее решение
2
Соответствующего однородного уравнения
3
Как и в случае уравнения второго порядка, для уравнения (1) справедливо следующее утверждение.
Теорема:
Если
- общее решение однородного уравнения
(3), а y*-
частное решение неоднородного уравнения
(1) то,
есть общее решение неоднородного уравнения.
Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить способом вариации произвольных постоянных, считая в выражении (2) С1, С2,…,Сn функциями от х. Для этого составляется система уравнений:
Эта
система относительно неизвестных
Она имеет решение.
В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами частные решения находятся по виду правой части уравнения, подобно тому, что мы делали в случае решения линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пример:
Общее решение
