§11. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть имеем уравнение:

, (1)

где - действительные числа.

Мы разобрали как решается соответствующее линейные однородные уравнение. Вся трудность состоит в нахождении частного решения данного линейного неоднородного уравнения. Иногда частное решение можно найти проще , не прибегая к интегрированию. Рассмотрим эти случаи.

I) Пусть правая часть уравнения (1) представляет произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

(2)

где ¤ - многочлен n-ой степени. Возможны следующие частные случаи:

а) Число не является корнем характеристического уравнения

В этом случае частное решение нужно искать в виде

(3)

Подставим в уравнение (1) и сократим все члены на , получим

(4)

- многочлен n-ой степени

- многочлен n-1-ой степени

- многочлен n-2-ой степени

В равенстве (4) слева и справа стоят многочлены n-ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему (n+1) уравнений для определения коэффициентов .

б) Число - однократный корень характеристического уравнения .

Выражение и левая часть равенства (4) есть многочлен (n-1)-ой степени . Для того , чтобы равенство (4) стало тождеством в частном решении многочлен нужно брать (n+1)-й степени, т.е.

в) Число - двукратный корень характеристического уравнения. В этом случае и и левая часть равенства (4) есть многочлен (n-2)-ой степени . Частное решение ищут в виде

Примеры.

1)

не совпадает с корнем характеристического уравнения

коэффициент при

Общее решение :

2)

совпадает с одним корнем характеристического уравнения

коэффициент при

A=1

Общее решение :

II) Пусть правая часть имеет вид

, (5)

где , - многочлен от х.

Форма частного решения определяется так:

а) если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде

, (6)

где и - многочлены , степень которых равна наивысшей степени многочленов и

б) если есть корень характеристического уравнения , то частное решение ищут в виде

, (7)

Пусть правая часть имеет вид

(8)

где M, N-постоянные числа

а) если не является корнем характеристического уравнения , то частные решение ищут в виде

(9)

б) если является корнем характеристического уравнения, то частные решение ищут в виде

(10)

Замечание правая часть может содержать только тригонометрическую функцию, т.е. либо , либо равны нулю; или или равны нулю. Частное решение ищут всегда в виде

Примеры.

не совпадает с корнями характеристического уравнения

коэффициент при

Общее решение:

2)

- не совпадает с корнями

характеристического уравнения

Коэффициент при е^-х соsx

Коэффициент при е^-х соsx

Общее решение