22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов

Матрица A линейного оператора A пространства Rⁿ в себя принимает наиболее простой вид, если базис пространства состоит из собственных векторов оператора A.

Можно доказать, что в этом случае матрица A линейного оператора является диагональной и имеет вид:

.

Верно и обратное: если матрица A линейного оператора A в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A.

23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы

Определение 1. Квадратичной формой L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных x_ix_j, взятых с некоторым действительным коэффициентом a_ij, (причем a_ij = a_ji):

.

Определение 2. Матрицей квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется матрица, составленная из коэффициентов a_ij:

.

Отметим, что в силу условия a_ij = a_ji, она является симметрической.

Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных.

Определение 3. Матричной записью квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется запись L=XAX, где X=(x₁, x₂, … , x_n) - матрица столбец переменных.

Следовательно, .

Определение 2. Рангом квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется ранг матрицы квадратичной формы.

24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм

Определение 1. Квадратичная форма L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется канонической, если все её коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. a_ij=0 при ij.

В этом случае квадратичная форма имеет вид .

Доказано, что любая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

При этом её матрица приводится к диагональному виду.

Теорема 1 (закон инерции квадратичных форм). Ранг квадратичной формы не меняется при линейных преобразованиях.

Следовательно, ранг квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и совпадает с рангом соответствующей диагональной матрицы.

26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)

Определение 1. Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и только они.

Если из этого уравнения выразить переменную y, то получится уравнение y=f(x).

Если линии заданы уравнениями, то точкой пересечения двух линий называется любая точка, координаты x и y которой удовлетворяют уравнениям, т.е. являются решением системы двух уравнений.

Основные виды уравнений прямой на плоскости:

1) у=0 - уравнение оси Ох; y=b - уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) х=0 - уравнение оси Оу; х=а - уравнение прямой, параллельной оси Оу;

3) y=kх - уравнение прямой, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом k=tg, где - угол наклона прямой к оси Oх;

4) y=kх+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tg, где - угол наклона прямой с положительным направлением оси Oх.

y-y₀=k(x-x₀) - уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) и имеющей угловой коэффициент k.

- уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂) , если x₁x₂ и y₁y₂.