- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у.
- •21. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •Билет1. Понятие матрицы.
- •Билет2. Определители 2-го и 3-го порядков.
- •Свойства определителей
- •Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •3. Особенная и неособенная квадратные матрицы.
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы.
- •19. Определение оператора.
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис.
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.
- •6. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид).
- •7. Решение системы n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера
- •8. Решение системы n линейных уравнений с n переменными
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана-Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение
- •12. Система линейных однородных уравнений
20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у.
Рассмотрим далее отображение линейного пространства Rn в себя. Зафиксируем базис e1, e2, ... , en этого пространства.
Связь между вектором x и его образом A(x) можно выразить в матричной форме уравнением Y= AX, где A – матрица линейного оператора A в заданном базисе, X = (x1, x2, … xn), Y = (y1, y2, … yn) - матрицы-столбцы из координат векторов x и y.
Теорема 1. Каждому линейному оператору линейного пространства Rn в себя соответствует матрица в данном базисе. Обратно, всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Доказательство основано на теореме о единственности разложения вектора линейного пространства по базису и свойствах аддитивности и однородности линейного оператора.
Пусть x = x1 e1+x2 e2+ ... +xn en.Тогда A(x) = x1 A(e1) + x2 A(e2) + ... +xn A(en) = =x1(a11 e1+a21 e2+…+an1 en)+ x2(a12 e1+a22 e2+…+an2 en)+ ... +xn(a1n e1+a2n e2+…+ann en) =
= (a11 x1+a12 x2 +…+a1n xn) e1+ (a21 x1+a22 x2 +…+a2n xn) e2+ (an1 x1+an2 x2 +…+ann xn) en.
С другой стороны, y = y1 e1+ y2 e2+ ... + yn en.
Следовательно,
Определение 1. Ранг матрицы A называется рангом оператора A.
Определение 2. Суммой двух линейных операторов A и B называется оператор (A + B), определяемый равенством (A + B)(x) = A(x) + B(x).
Определение 3. Произведением линейного оператора A на число называется оператор A, определяемый равенством A(x) =(A(x)).
Определение 4. Произведением двух линейных операторов A и B называется оператор (A B), определяемый равенством (A B)(x) = A(B(x)).
Определение 5. Нулевым оператором называется оператор, переводящий все векторы пространства Rn в нулевые векторы.
Определение 6.Тождественным оператором называется оператор E, переводящий каждый вектор в себя, то есть E(x) = x.
21. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Определение 1. n-мерный вектор x 0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число , что A(x) = x. Число называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.
Можно доказать, что ненулевое решение уравнения AX = X существует тогда и только тогда, когда определитель A - E=0, где E - единичная матрица n –го порядка.
Определение 2. Определитель A - E является многочленом n –ой степени относительно переменной и называется характеристическим многочленом линейного оператора A.
Определение 3. Характеристическим уравнением линейного оператора A называется уравнение A - E=0.
Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора A не зависит от выбора базиса линейного пространства.