1.4. Семейства точечных групп

ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

Как уже было сказано, точечные группы, которые содержат

несколько осей высшего порядка, не совпадающих по направле-

нию, т. е. группы высшей категории, делятся на два семейства.

Для групп семейства VI характерно отсутствие инверсионных

осей, в том числе плоскостей симметрии; группы семейства VII

выводятся из групп семейства VI добавлением плоскостей т.

VI. Семейство шара с вращающимися точками поверхности.

Можно строго математически доказать, что существует лишь три

точечные группы, содержащие конечное число не совпадающих

по направлению поворотных осей высшего порядка (при отсут-

ствии инверсионных осей).

Первая группа обозначается 23 (принципы международной

символики групп высшей категории изложены ниже); она содер-

жит три взаимно перпендикулярные оси 2, которые удобно при-

37

пять за координатные оси; кроме того, присутствуют четыре

оси 3, проходящие по объемным диагоналям октантов. Перечис-

ленные оси расположены так, как это показано на рис. 1.4.1, а.

о 5

Рис. 1.4.1. Точечные группы семейства шара с вращающимися

точками поверхности:

а — группа 23, б — группа 432

Каждая ось 3 образует с любой из осей 2 угол ~54,7°, а угол

между двумя любыми осями 3 близок к 70,5° (смежный угол,

равный —109,5°, обычно называют «тетраэдрическим»). Пример

многогранника, имеющего симметрию 23, показан на рис. 1.4.2, а.

Рис. 1.4.2. Примеры многогранников, симметрия которых описывается то-

чечными группами семейства шара с вращающимися точками поверхности:

а — пентагонтритетраэдр (группа 23), б — пентагонтриоктаэдр (группа 432)

Во второй группе (группа 432) при таком же расположении

осей 3 вдоль координатных осей проходят оси 4. Вместе с тем

(в соответствии с теоремой 4) возникают оси 2, проходящие по

диагоналям координатных плоскостей (ось 4 содержит в себе

ось 2). Расположение перечисленных осей показано на

38

рис. 1.4.1, б. Примером фигуры с такой симметрией является мно-

гогранник, изображенный на рис. 1.4.2,6.

Третья группа (группа 25, рис. 1.4.3) содержит шесть осей 5,

десять осей 3 и пятнадцать осей 2. В отличие от двух предыду-

щих групп здесь минимальный угол между осями 3 составляет

-41,8°.

Если расположить в пространстве какие-либо две поворотные

оси высшего порядка в относительной ориентации, не встречаю-

у\

~^ >' / х 1 ^-^— L

^гГ^*-: ^•* ^ ^7 ^?\\

^:^

%

V-vx

\>7

Рис. 1.4.3. Расположение элементов симметрии в точечной

группе 25. Если считать штриховые линии изображением

плоскостей симметрии, то получится точечная группа т5

щейся ни в одной из перечисленных групп, и рассмотреть, какие

элементы симметрии при этом возникают, то окажется, что вся-

кая прямая, проходящая через точку пересечения исходных осей,

является осью оо. В итоге получается группа, обозначаемая оооо

и содержащая бесчисленное множество осей бесконечного поряд-

ка. Эту группу называют группой вращений', она содержит в

себе всевозможные повороты вокруг всевозможных осей. Геомет-

рическим образом, иллюстрирующим такую симметрию, является

шар, в котором все точки поверхности вращаются в одном на-

правлении (например, по часовой стрелке) вокруг соответствую-

щего радиуса (см. рис. 1.3.1, г).

То, что всякое расположение двух осей высшего порядка в

ориентации, не встречающейся в группах 23, 432 и 25, приводит

39

к группе оооо, означает, например, что две оси 6 или ось 6 и ка-

кая-либо другая, не совпадающая с ней по направлению, ось

высшего порядка могут одновременно присутствовать только в

группе оооо.

VII. Семейство шара. Добавление к группам 23 и 432 трех

плоскостей симметрии, совпадающих с координатными плоскостя-

ми, приводит к группам тЗ и тЗт (рис. 1.4.4, а, в). Если к груп-

Рис 1 4.4. Расположение элементов симметрии в точечных группах семейства

шара: __

а — группа тЗ, б — группа 43т, в — группа тЗт

пе 23 добавить шесть плоскостей симметрии, перпендикулярных

диагоналям координатных плоскостей, возникает группа, обозна-

чаемая 43т (рис. 1.4.4,6); при этом на месте осей 2 в соответ-

ствии с теоремой 3 появляются инверсионные оси 4. Добавление

таких диагональных плоскостей к группе 432 снова дает уже упо-

минавшуюся группу тЗт. К группе 25, содержащей пятнадцать

осей 2, можно добавить пятнадцать плоскостей симметрии, пер-

пендикулярных этим осям, что приведет к группе, обозначае-

мой т5.

Таким образом, получаются четыре группы (тЗ, тЗт, 43т,

т5), содержащие наряду с плоскостями симметрии конечное ко-

личество осей высшего порядка. Заметим, что в трех из них

(тЗ, тЗт и т5) присутствуют плоскости т, перпендикулярные

осям 2; _следовательно, эти группы содержат и центр инверсии.

Группа 43т центра инверсии не имеет.

Добавление плоскостей симметрии к любой из групп предыду-

щего семейства в какой-либо иной ориентации приводит к воз-

никновению бесчисленного множества осей высшего порядка.

В итоге всякая прямая, проходящая через центр, окажется осью

бесконечного порядка, а всякая плоскость — плоскостью симмет-

рии. Так получается предельная группа, обозначаемая —оо и т

описывающая симметрию шара, ее называют полной ортогональ-

ной группой. Эта группа содержит в себе всевозможные поворо-

ты и повороты с инверсией вокруг всевозможных осей. Все то-

40

чечныс группы симметрии всех семейств являются се подгруп-

пами.

Приведем примеры фигур, симметрия которых отвечает груп-

пам последнего семейства. Многогранник, изображенный на

рис. 1.4.5, а (пентагондодекаэдр), с гранями в форме «равнобед-

ренных» пятиугольников имеет симметрию тЗ. Аналогичный мно-

гогранник с правильными ^^угольными гранями дает пример

симметрии т5. Такую же симметрию имеет икосаэдр

(рис. 1.4.5,6).

Симметрией 43т обладают правильный тетраэдр и имеющая

тетраэдрическое строение молекула метана СН4 (см. рис. 1.1.2,0).

Рис. 1.4.5. Примеры многогран-

ников, симметрия которых опи-

сывается точечными группами

семейства шара:

а—пентагондодекаэдр (группа

тЗ), б — икосаэдр (группа

т5)

Отражение

S л/10 скос ту

Рис. 1.5.L_ Действие инверсион-

ной оси 4 эквивалентно дейст-

вию зеркально-поворотной оси

S,

Группой тЗ/n описывается симметрия куба и октаэдра, а также

многочисленных октаэдрических молекул и ионов (например,

ион [PtCl6]2-).

В заключение нужно остановиться на принципах обозначения

точечных групп высшей категории. Развернутый символ групп, в

которых присутствуют четыре оси 3, состоит из трех позиций.

Первая позиция отводится для обозначения координатных эле-

ментов симметрии (плоскостей, перпендикулярных осям коорди-

нат, и осей симметрии, проходящих вдоль осей координат),

третья позиция — для диагональных (плоскостей симметрии, пер-

пендикулярных диагоналям координатных плоскостей, и ос?й

симметрии, проходящих вдоль этих диагоналей). Во второй по-

зиции ставится тройка, которая обозначает оси 3, проходят е

вдоль объемных диагоналей октантов. В остальном правила по-

строения символа те же, что и для групп низшей и средней ьл-

тегории.

Развернутая форма записи 231 432 —2 31 -4 3т —4 3 —2—

т mm

Сокращенная фор-ла за.шси 23 432 /г?3 43/тг /яЗт

41

Символы групп с осями пятого порядка 25 и т5 строятся по

аналогии с символами групп 23 и тЗ.