Раздел 6.1). Эту группу можно также обозначить, например, как

A(z)H6, полагая, что двумерная решетка и плоскость скользящего

отражения совпадают с плоскостью XY и скольжение происходит

БДоль оси У.

Теперь перейдем к вопросу о путях вывода федоровских групп.

Прежде всего отметим, что пространственная группа может быть

задана двумя существенно различными способами. Первый из

них, называемый геометрическим, заключается в том, что группа

задается своими «порождающими» элементами симметрии. Этим

наглядным подходом, принятым в кристаллографии, мы и пользо-

вались выше. Возможен, однако, и второй способ, названный ариф-

метическим, в котором группа задается набором операций (дви-

жений), выбранных по определенным правилам. Остановимся сна-

чала на тех методах вывода федоровских групп, в которых ис-

пользуется геометрический подход, затем охарактеризуем возмож-

ности арифметического подхода.

Геометрический способ описания пространственных групп ис-

пользовался Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом, которые, как уже

было отмечено, первыми осуществили их полный вывод. Основой

метода Федорова являются алгебраические уравнения, которые

позволяют находить координаты точек, входящих в одну систему

эквивалентных позиций (Федоров называл такие системы пра-

вильными). В этих уравнениях главные члены одинаковы для всех

правильных систем, соответствующих одной и той же точечной

группе, добавочные члены характеризуют различия в переносах

(сдвигах). По некоторым особенностям вывода федоровские груп-

пы подразделяются на три типа: 1) симморфные, которые не со-

держат винтовых осей и плоскостей скользящего отражения (об

этих группах говорилось в разделе 5.4), 2) гемисимморфные, ко-

торые не содержат винтовых осей, но обязательно включают в се-

бя плоскости скользящего отражения, 3) асимморфные, содержа-

щие винтовые оси. Шенфлис, как .и Федоров, выводил простран-

ственные группы путем присоединения системы переносов к то-

чечным группам; при этом он учитывал типы решеток, возможные

в каждом конкретном случае. Важным преимуществом работы

Шенфлиса является то, что она содержит доказательство фунда-

ментальной теоремы о наличии во всякой правильной системе

трехмерной группы трансляций. Федоров принимал это утвержде-

ние в качестве постулата.

Следует упомянуть еще так называемый «классный» метод вы-

вода пространственных групп, предложенный в 1951 г. Н. В. Бело-

вым. В этом методе, удобном для учебных целей, «генераторами»

федоровских групп являются 14 типов Бравэ, причем рассматри-

ваются сочетания различных решеток с закрытыми и открыты-

ми плоскостями симметрии.

В книге А. В. Шубникова и В. А. Копцика (см. список реко-

мендованной литературы) описан метод вывода федоровских групп

с использованием теории расширения. Здесь рассматриваются рас-

192

ширения групп трансляций с помощью точечных кристаллографи-

ческих групп G и групп Gr, изоморфных им по модулю; эти рас-

ширения получаются как произведения групп различного типа 1.

Этот метод имеет принципиальное преимущество — на основе по-

добных расширений выводятся не только федоровские ,группы, но

и ряд других групп, о которых говорится в разделе 6.3.

Арифметический способ задания федоровской группы использу-

ется в матрично-векторном методе вывода, который был предло-

жен Г. Цассенхаузом в 1948 г. и реализован Р. В. Галиулиным в

1969 г. В арифметическом подходе каждая операция группы за-

дается поворотом А (этот поворот может включать или не вклю-

чать в себя инверсию) и переносом а, определенными относительно

базисного репера Е подгруппы трансляций Т. Совокупность этих

движений обозначается символом (А, о), где А — целочисленная

матрица. Совокупность таких матриц представляет собой кристал-

лографическую точечную группу F. Федоровская группа полностью

задается набором операций, поворотные части которых полностью

определяют группу F (порождающие операции).

Пусть задана некоторая группа F целочисленных матриц А\9

А2, ..., Ant соответствующая ей по симметрии решетка Т и некото-

рый базисный репер Е, по отношению к которому матрица А опи-

сывает преобразования этой решетки в себя. Для любых F и Е су-

ществует одна или несколько федоровских групп, в том числе сим-

морфная группа, в которой ai = a2= ... =оп. При наличии ненуле-

вых переносов а необходимым и достаточным условием того, что-

бы набор векторов Оь 02, ..., an соответствовал федоровской группе

с заданными F и , является выполнение совокупности условий

Л/о/4-a/ = o// + t, где о// — сдвиг, соответствующий произведению

операций lAit о/) и (Л/, о/), t — трансляция из группы Т. Послед-

нее утверждение дает основу для последовательного вывода про-

странственных групп, который может быть автоматизирован и да-

же проведен на ЭВМ. В результате получается 303 группы, среди

которых нет таких, которые различаются лишь выбором начала

координат, но есть группы, которые с кристаллографической точки

зрения эквивалентны, поскольку становятся идентичными при

переименовании осей координат. Если исключить повторы такого

рода, получается 219 неизоморфных федоровских групп. С учетом

того, что 11 из них существуют в виде двух энантиомерных форм,

в конечном итоге получается 230 групп, найденных Е. С. Федо-

ровым.

1 К сожалению, сущность этого метода затруднительно разъяснить в рамках

использованной выше терминологии. Читателей, интересующихся данным вопро-

сом, мы отсылаем к цитируемой книге А. В. Шубникова и В А. Копцика.