1.2. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости

Задача 7

Определить расход воды Q горизонтального трубопровода, имеющего сужение, при следующих данных: диаметры d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, пьезометрические высоты p₁ /  = 1,2 м, p₂ /  = 0,8 м. Потери напора и неравномерность распределения скоростей в сечениях не учитывать (рис. 7).

Рис. 7

Дано: d₁ = 15 см, d₂ = 6 см, p₁ /  = 1,2 м, p₂ /  = 0,8 м.

Определить: Q.

Решение

Напишем уравнение Д. Бернулли без учета потерь напора для сечения 1-1 и 2-2, приняв плоскость сравнения, проходящей через ось трубопровода О-О:

так как

Из уравнения неразрывности потока жидкости:

имеем:

После подстановки значения скорости V₁ в уравнение Д. Бернулли получим:

Решив последнее равенство относительно скорости V₁, будем иметь:

a

1.3. Гидравлические сопротивления

Задача 8

Показание струйного водомера h = 200 мм. Диаметр трубы D = 500 мм, диаметр горловины d = 150 мм, коэффициент расхода водомера  = 0.86. Определить расход воды Q, пользуясь уравнением Д. Бернулли и коэффициентом расхода , и построить пьезометрическую и напорную линии трубы (рис. 8).

Рис. 8

Дано: h = 200 мм, D = 500 мм, d = 150 мм = 1,5 дм.

Определить: расход воды Q.

Решение

Напишем уравнение Д. Бернулли для двух сечений трубы 1-1 и 2-2, пренебрегая членом уравнения h_w ввиду малости расстояния между сечениями 1-1 и 2-2 и плавности перехода воды из трубы с диаметром Д в трубу с диаметром d (гидравлические сопротивления малы, и сначала мы их не учитываем), то есть h_w  0.

За плоскость сравнения примем плоскость, проходящую через ось трубы О-О. В общем виде будем иметь:

где можем принять ₁ = ₂  1,0.

Так как труба горизонтальная и за плоскость сравнения или плоскость отсчета нами принята плоскость, проходящая через ось трубы, то имеем:

Тогда уравнение Д. Бернулли примет такой вид:

В этом уравнении сделаем перестановку членов и получим:

Из схемы струйного водомера видно, что

поэтому теперь уравнение Д. Бернулли запишется так:

Ввиду того, что

и

,

где Q_т – теоретический расход, то есть расход без учета гидравлических сопротивлений,

то

откуда

и, следовательно:

Зная, что для данного водомера есть величина постоянная, и обозначив ее буквой С, получим:

в нашем случае:

Теоретический расход воды будет:

Действительный расход:

Для построения пьезометрической и напорной линий вычислим по действительному расходу скорости V₂, V₃ = V₁, скоростные напоры и разность пьезометрических давлений в сечениях трубы 2-2 и 3-3:

В последнем уравнении член представляет собой переход удельной кинетической энергии в удельную потенциальную энергию, отчего уровень жидкости в третьем пьезометре повышается, а член выражает собою потерю удельной кинетической энергий или потерю напора при плавном расширении струи (гидравлическом ударе по Борда) с коэффициентом 0,5 ввиду наличия переходного конуса, отчего уровень жидкости в третьем пьезометре понижается.

В случае близкого расположения третьего пьезометра

поэтому уровень жидкости в третьем пьезометре оказывается выше, чем во втором пьезометре, что получилось и в данном случае. Понижение уровня жидкости во втором пьезометре обусловлено двумя причинами: переходом удельной потенциальной энергии в удельную кинетическую энергию и потерей напора, а понижение уровня жидкости в третьем пьезометре по сравнению с первым обусловлено только потерей напора, так как V₃ = V₁. Пользуясь данными задачи и расчетными результатами, теперь можно построить пьезометрическую и напорную линию. Для построения пьезометрической линии необходимо в первом сечении трубы отложить отрезок, выражающий , а во втором сечении в третьем

Для построения напорной линии к пьезометрическим высотам прибавляются соответствующие скоростные напоры. Концы полученных отрезков соединяются линиями и получаются пьезометрическая и напорная линии без учета влияния на них конусных переходов (без соблюдения полной точности при их построении). Линии эти даны на чертеже к этой задаче. Ординаты между напорной линией и горизонталью, проведенной из начала напорной линии, выражают потерю напора. Построение рассматриваемых (энергетических) линий производится в определенном масштабе.