Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция 8 Теоремы слож и умн вероятн.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
10.08.2019
Размер:
324.1 Кб
Скачать

5. Вероятность произведения зависимых событий

Теорема. Для зависимых событий и верно следующее: .

Это означает, что вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что произошло первое событие.

Пример 5. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие - 1-й вынутый шар черный, событие - 2-й вынутый шар черный. Найдем вероятность того, что из урны вынуты два черных шара, то есть найдем вероятность события .

( из урны вынуты два черных шара) = = = (1-й вынутый шар черный) (2-й вынутый шар черный при условии, что 1- вынутый шар черный) = .

Пример 6. Команде предстоит сыграть полуфинал и, возможно, финал. Вероятность победы в полуфинале сами игроки оценивают в 0,6, а вероятность победы в финале (при условии победы в полуфинале) – в 0,5. Какова вероятность, по мнению игроков, того, что команда станет чемпионом?

Событие - победа в полуфинале, событие - победа в финале. Событие «команда станет чемпионом» = «победы в полуфинале и финале» = . Тогда = (победа в полуфинале) х (победа в финале при условии победы в полуфинале) = = 0,3.

Замечание. Вероятность совместного появления трех зависимых событий равна .

Пример 7. В машину «Экзаменатор» введено 25 вопросов. Студенту предлагается три различных вопроса. Ставится оценка «отлично», если на все эти вопросы получены верные ответы. Найти вероятность получить «отлично», если студент выучил 20 вопросов.

Введем события , , – Студент знает -й из трех предложенных вопросов ( ).

События , , зависимы: наступление события изменяет вероятность появления последующего события (так как число экзаменационных вопросов в машине уменьшилось), а наступление события изменяет вероятность последующего события .

Вычислим вероятности правильного ответа на каждый вопрос: ; ; .

Событие «получена оценка отлично» есть произведение зависимых событий . Поэтому по теореме умножения вероятностей трех зависимых событий получим .

Как видно, вероятность получить оценку «отлично» невелика – надежнее выучить все вопросы.

6. Вероятность суммы совместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятности произведения этих событий: .

Если события и несовместны, то - невозможное событие. Тогда , и мы получаем формулу .

Пример 8. Определим вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика.

Событие - при 1-м бросании выпало число 1, событие - при 2-м бросании выпало число 1. тогда событие - «хотя бы один раз выпало число 1».

= 1/6 + 1/6 – 1/36 =11/36.

Пример 9. Вероятности своевременного выполнения задания двумя работниками фирмы соответственно равны 0,8 и 0,7. Работники получили независимо друг от друга задание. Найти вероятности событий:

1) только один работник выполнит задание в срок;

2) хотя бы один работник выполнил задание в срок.

Решение

Введем события: - первый работник выполнил задание в срок, - второй работник выполнил задание в срок.

По условию, их вероятности ; .

1) Событие – «Только один работник выполнил задание в срок», тогда . Слагаемые и несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей двух несовместных событий имеем

.

2) Существует несколько способов нахождения вероятности события – «Выполнил задание в срок хотя бы один работник».

Первый способ связан с применением теоремы сложения вероятностей совместных событий. Так как события и совместны, то .

Во втором способе дается полное представление о структуре события . Событие представим в виде суммы событий: .

Сумма первых двух слагаемых соответствует событию «Только один работник выполнил задание в срок», слагаемое – событию «Оба работника выполнили задание в срок». Тогда вероятность события – «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» равна

Третий способ заключается в использовании противоположного события. Рассмотрим противоположные события: – «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» и - «Оба работника не выполнили задание в срок», или . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице , отсюда

.

Как видно, все три способа вычисления вероятности события дали один и тот же результат.