4. Координаты вектора. Преобразования координат вектора при основных операциях

Дан вектор _{в пространстве. Известны координаты точек} и . Тогда координаты вектора _{вычисляются по правилу: из координат конечной точки нужно вычесть координаты начальной точки:} .

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число: .

При сложении векторов и складываются соответствующие координаты: .

Пример 3. На плоскости даны точки , , . Найдите координаты векторов , , .

;

;

.

5. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками

Дан вектор в пространстве. Модуль вектора вычисляется по формуле: .

Важной задачей является нахождение расстояния между двумя точками:

1) расстояние между точками и на прямой равно длине вектора :

;

2) расстояние между двумя точками и на плоскости равно длине вектора :

;

3) расстояние между двумя точками и в пространстве равно длине вектора :

.

Пример 4. Вектор имеет начало в точке , а конец - в точке . Найдите координаты и длину вектора .

Решение

;

.

6. Скалярное произведение векторов Определение

• Скалярным произведением геометрических векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: , где .

Пример 5. Длины векторов и равны , а угол между ними . Вычислите скалярное произведение .

.

Основные свойства скалярного произведения векторов

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность относительно умножения на число);

3) (дистрибутивность относительно сложения векторов);

4) - скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора и является неотрицательным числом.

Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты

Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат:

.

Пример 6. Найти скалярное произведение векторов и .

Решение. .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины , отсюда .

Подставив последние формулы в определение скалярного произведения векторов, получим:

.

Условие ортогональности векторов

Ортогональные векторы – это векторы, угол между которыми равен 90⁰, то есть .

Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. сумма произведений одноименных координат равна нулю: .

Пример 7. Найдите, при каком значении векторы и ортогональны.

Запишем условие ортогональное векторов в координатной форме: . Отсюда ; . Значит, векторы и ортогональны.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения: геометрического вектора, его длины, коллинеарных векторов, ортогональных векторов.

2. Как сложить: 1) два вектора, имеющих общее начало, 2) два вектора, имеющих разное начало, 3) несколько векторов?

3. Как умножить вектор на число, которое: 1) больше единицы, 2) меньше единицы? А на отрицательное число?

4. Пусть известны координаты точек - начала и конца вектора. Как найти координаты вектора и его длину?

5. Как найти координаты суммы, разности, произведения вектора на число, если известны координаты двух векторов?

6. Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.

7. Запишите формулу вычисления скалярное произведение векторов, если известны координаты векторов.

8. Как определить с помощью скалярного произведения векторов, что векторы ортогональны?

9. Как, зная координаты векторов, определить, что векторы коллинеарны?