![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
17 Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа eсуществует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|xn - a| < e. (6.1)
Записывают
это следующим образом:
или
xn→ a.
18 Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельнойдля области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Определение
Функция
имеет
предел
в
точке
, предельной для
области определения функции
,
если для каждой окрестности
предела
существует
проколотая окрестность точки
,
образ которой при отображении
является
подмножеством заданной окрестности
точки
.
Односторо́нний
преде́л в математическом
анализе — предел
числовой функции,
подразумевающий «приближение» к
предельной точке с одной стороны. Такие
пределы называют соответственнолевосторо́нним
преде́лом (или преде́лом
сле́ва)
и правосторо́нним
преде́лом (или преде́лом
спра́ва).
Правосторонний
предел принято обозначать любым из
нижеследующих способов:
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
19 Первый замечательный предел:
20
Второй замечательный предел:
21 Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если
|
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называетсяточкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.
Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:
функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;
функция не определена в данной точке.
22 Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как пределотношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке
правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.
Если y = f(x)
- дифференцируемая функция, заданная
уравнением F(x, y)
= 0, т. е. F(x, f(x))
≡ 0 на некотором интервале ]a, b[,
то во многих случаях ее производную
можно найти из уравнения
23
Пусть
для функции z =
(х,
у) переменные х и у являются функциями
переменной t х = x(t), у = y(t). Тогда функция
z =
(x(t),
y(t)) является сложной функцией переменной
t
функция
у независимой переменной x называется
неявной, если она задана уравнением, не
разрешенным относительно y :
Если
функция f задана
параметрически x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,
где y = f(x)
и функции φ и ψ дифференцируемы,
причем φ'(t)
≠ 0, то
24 Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))' .
Дифференциа́л
— линейная часть приращения
функции.
25
Теорема
Ролля:
если f(a)
= f(b)
= 0,
то имеется точка
максимума
или минимума, в которой f' обращается в
нуль. Теорема
Лагранжа:
существует такая точка
,
что
Теорема
Коши:
если
на (a,b),
то существует такая точка
,
что
Правило
Лопита́ля —
метод нахождения пределов
функций, раскрывающий
неопределённости вида 0
/ 0 и
.
Обосновывающая метод теорема утверждает,
что при некоторых условиях предел
отношения функций равен
пределу отношения их производных.
26 Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1). Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1). функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Экстре́мум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума
27 Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда свои наибольшее и наименьшее значения функция достигает в критических точках, лежащих внутки отрезка [a,b], либо на концах отрезка.
Т.о., для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:
- найти все критические точки фунции, лежащие внутри отрезка [a,b]
- Вычислить значения функции в этих точках и в точка a и b
- Выбрать наибольшее и наименьшее значения.
28 График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Точкой
перегиба графика функции
называется
точка, в которой меняется направление
выпуклости графика. Для нахождения
точ.п. используется теорема (достаточное
условие существования т.п.) Если вторая
производная f”(x)
при переходе ч/з точку x0,
в кот-й она равна нулю или не существует,
меняет знак, то точка графика с абсчиссой
x0
есть
точка перегиба.
29 Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат. Бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты
30 1. Область определения функции
2. Точки пересечения с осями координат. С осью Oy y=f(0). С осью Ох f(x)=0.Область непрерывности функции и точки разрыва. 3. четность и нечетность .
4.Нахождение производной. 5. Нахождение производной асимптот 6. Нахождение интервала монотонности графика функции.
7. Исследование на точки экстремума
8. Исследование на наличие невертикальных асимптот
|