Сложение векторов. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Свойства линейных операций:

1)      ;

2)      ;

3)      ;  ;

4)      ;

5)      ;

6)      ;

7)      ;  ;

a=a_xi+a_yj+a_zk   Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси

8  Смешанным произведением векторов a,b,c называется число  .  Смешанное произведение будем обозначать abc, Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр. Геометрический смысл смешанного произведени: смешанное произведение векторов (a,b,c) равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком +, если тройка a,b,c — левая.

9 Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

 Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

10 Прямые  линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай. 1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если AB//CD то A₁B₁//C₁D₁; A₂B₂//C₂D₂; A₃B₃//C₃D₃ .В общем случае справедливо и обратное утверждение.

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи .

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

11 1)векторно -параметрическое:  r=ro+at  2)параметрические:  x=xo+a1t  y=yo+a2t  z=zo+a3t  3)каноническое  (x-xo)/a1=(y-yo)/a2=(z-zo)/a3  4)уравнение прямой, проходящей через 2 указанные точки:  (x-x1).(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)  5)прямая как пересечение двух плоскостей:  A1x+B1y+C1z+D1=0  A2x+B2y+C2z+D2=0

12 Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

13 Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом: 

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду 

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Уравнение  называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

14 Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют  собой частный случай пересекающихся плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость

15  Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки. Прямая и плоскость в пространстве могут:

• а) не иметь общих точек;

• б) иметь ровно одну общую точку;

• в) иметь хотя бы две общие точки.

16 Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую