Доказательство ____

значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

16. Момент инерции материальной точки (тела) относительно оси. В чем заключается физический смысл момента инерции. Выведите формулу для момента инерции стержня относительно оси симметрии. Сформулируйте теорему Штейнера. Приведите пример ее применения.

Момент инерции материальной точки относительно оси - произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси. 

момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Теорема штейнера выше

Пример: Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2:

17. Что называют моментом импульса системы относительно данной точки? Выведите закон изменения момента импульса системы частиц. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произ­ведением:

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv — импульс мате­риальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Модуль вектора момента импульса

где  — угол между векторами r и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

(19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил откуда

(19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от­счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

18. Пружинный маятник. Выведите дифференциальное уравнение его свободных незатухающих колебаний и запишите его решение.

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону х=А соs (₀t + ) с циклической частотой

(142.2)

и периодом

(142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

1.1. Свободные незатухающие колебания пружинного маятника

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой   и невесомой пружины жесткостью 

Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины. (см. рис. 1.1.1)

Рис. 1.1.1

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

(1)

Преобразуем выражение (1) к виду

Введем обозначение   (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим

(2)

Выражение (2) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

Решение уравнения (2) будем искать в виде:

(3)

Подставим (3) в (2) получим

Из полученного выражения найдем значения   :

(4)

где  Тогда