Основная теорема:

Пусть  - есть отношение эквивалентности на Х, тогда система  классов эквивалентности представляет собой разбиение множества Х. Обратно, если Ф(х) – некоторое разбиение множества Х, а отношение  определяется так, что элемент <а,в>є, если существует Ає(х):<а,в>єА, тогда отношение не эквивалентности. Каждое отношение эквивалентности задает разбиение множества Х.

4. Обобщённое равенство. Абстракция. Примеры.

Два элемента равны в обобщённом смысле, если они принадлежат одному классу эквивалентности. Одно из применений отношения эквивалентности – формулировка определений через абстракцию. Суть этой процедуры состоит в том, что понятие определяется, как множество всех предметов, обладающих каким-либо свойством, характеризующим по предположению это понятие. На первый взгляд этот метод может показаться противоестественным, но на практике он оказывается весьма удобным. Рассмотрим, например, такую проблему: как определить положительные рациональные числа в терминах положительных целых чисел. Мы введем понятия пар целых чисел, имеющих равные отношения посредством определения: <x,y>~<u,v>, если xv=uy (перемножаются между собой крайние члены и средние между собой); Это отношение эквивалентности и мы можем определить рациональные числа, как класс эквивалентности.

2/3=4/6 истинно, 2*6=3*4. 2\3 и 4\6 – различные имена для одного и того же рационального числа.

5. Понятие функции. График функции. Суперпозиция функций. Примеры.

Отношение f называется функцией «из А в В», если

• А и В

• (x,y) и (x,z) => y=z

Отношение f называется функцией «из А на В», если

• А и В

• (x,y) и (x,z) => y=z

ждественная функция : A  A определяется (х)=х

Функция f называется «1-1 функцией», если

• z= (x) и z= (y) => x=y

Если f - «1-1 функцией» и функция «из А на В» => f – взаимно-однозначное отображение

Ф-я, полученная из f₁,…,f_n некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументом, называется суперпозицией f₁,…,f_n.

Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Функция f называется инъекцией, если для всех x1, x2 из того, что x1 x2, следует f(x1) f(x2).

Функция f называется сюръекцией, если (f) =B.

Функция f называется биекцией (взаимно однозначным соответствием между множествами A и B), если она инъективна и сюръективна. Функция называется взаимно-однозначной, если она переводит различные элементы в различные.

Пусть даны ф-ии f: A–>B и g: B–>C. Функция h: A–>C называется композицией функций f и g (f◦g), если имеет место равенство h(x)=g(f(x)), где хєА.

6. Отношение порядка. Частичный порядок. Линейный порядок.

Минимальный/максимальный элемент. Наименьший/наибольший элемент.

Примеры

Отношение строгого порядка - иррефлексивное, транзитивное, антисимметричное отношение. <

Пример:

А - Множество геометрических фигур

P={(x,y) | фигура х имеет площадь меньше, чем фигура у}

Отношение частичного порядка – рефлексивное, транзитивное, антисимметричное отношение. ≤

Пример:

Числовое отношение х ≤ y

Отношение линейного порядка – отношение частичного порядка, удовлетворяющее условию дихотомии (любые два элемента из множества сравнимы в этом отношении).

Пример:

Отношение "старше" на множестве людей является линейным порядком.

Отношение делимости на множестве М={1,2,4,8} (???)

Пусть – отношение порядка на множестве A , тогда:

минимальный элемент x множества A – это элемент для

которого y y x ,

максимальный элемент x множества A – это элемент для

которого y x y ,

наименьший элемент x множества A – это элемент для которого

y x y ,

наибольший элемент x множества A – это элемент для которого

y y x .

Если, как обычно, в случае x < y проводить стрелку от x к y, то в графе отношения минимальный элемент - это тот, в который не входят стрелки, а максимальный - из которого не выходят стрелки.

Подмножества {x, y, z}, упорядоченные отношением включения.

7. Аксиоматические теории. Непротиворечивость, полнота и независимость системы аксиом.

Чтобы задать формальную аксиоматическую теорию, необходимо определить:

1. некоторое счетное множество символов (алфавит) – символов теории Т(конечные последовательности символов в теории Т называются выражениями теории Т);

2. Подмножество выражений теории Т, называемых формулами;

3. Подмножество формул теории Т, называемых аксиомами.

4. Конечное множество R₁, R₂, …, R_m отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Если А и формулы А₁,А₂,…,А_i находятся в некотором отношении R_k,то А называется непосредственным следствием из формул А₁,А₂,…,A_i, полученным по правилу R_k.

Выводом в теории Т называется всякая последовательность ₁, ₂,…, _n формул такая, что для любого i формула _i есть либо аксиома теории Т, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул. Формула А называется теоремой теории Т, если в ней существует вывод, в котором последней формулой является А. Формула А называется следствием множества формул Г тогда и только тогда, когда существует такая последовательность формул ₁, ₂,…, _n, что _n есть А, и для любогоi, 1<=i<=n, _I есть либо аксиома, либо формула из Г, либо непосредственное следствие некоторых предыдущих формул. Эта последовательность называется выводом из А в Г. элементы называются посылками вывода или гипотезами. Сокращено можно записать Г├А. Если множество Г состоит из формул В₁,В₂,…,В_k, то пишут В₁,В₂,…,В_k├А, и говорят, что формула А выводима из формул В₁,В₂,…,В_k. Если Г – пустое множество, то Г├А тогда и только тогда, когда А есть теорема. В этом случае принято писать ├А и говорить, что формула А доказуема, а сам вывод (последовательность формул) называют доказательством.

1) Формальная аксиоматическая теория называется полной, если в ней доказуема любая тавтология (тождественно истинная формула). Если в теории сформулировано высказывание S, то в этой теории можно доказать либо S, либо не S.

2) Формальная аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если в ней не существует вывода формулы А такой, что одновременно доказуемы формулы А и ¬А.

3) Формальная аксиоматическая теория называется независимой, если удаление любой из аксиом приводит к потере полноты.

Формальную аксиоматическую теорию называют полной в узком смысле, если добавление любой невыводимой формулы в качестве схемы и аксиом приводит к противоречивой системе.

За пределами любой теории есть неизмеримый остаток.

8.Неформальные свойства понятия алгоритма, понятия алфавита, слова, терма. Простейшие вычислимые функции. Оператор суперпозиции

Алгоритм:

Дискретность – процесс последовательного построения величин, при котором каждая след вычисляется из предшествующей системы величин.

Детерминированность — система величин полученных в некоторый момент времени, однозначно определяемый системой величин, полученных на предшествующих действиях.

Элементарность шагов — закон получение след из предыдущих должен быть простым

Направленность — если на каком-то этапе способ, получения след величин, не дает результатов, то должно быть указано что считать результатом алгоритма

Массовость — алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

Алфавит – конечное множество символов A={a,b,c...}

Слово - конечное последовательность символов в алфавите

Термы – это слова особого вида, записанные в функциональном алфавите.

Алгоритм- множество функциональных термов. Интерпретация – множество аксиом, которые можно вывести.

Модель- интерпретированная теория.

Функциональный алфавит состоит из 3 частей:

1. символы предметных переменных (x,y,...z)

2. функциональные символы (f,g,...h)

3. специальные символы (, ),

Аксиомы – возьмем функции, которые назовем вычислимыми (простейшие вычислимые функции).

1. S(x)=x+1; функция следования

2. O(x)=0; функция нуля

3. выбор

Эти простейшие функции всюду определены и из них с помощью конечного числа применений операторов, введенных ниже, можно конструировать более сложные функции.

Тогда алгоритм можно определить как множество функциональных термов, задающее вычисление функции f.