4.5 Основные положения теории максимальных и оптимальных поставов

4.5.1 Максимальные поставы х. Л. Фельдмана

Первой научной работой по теории раскроя бревен на пиломатериалы является работа Х.Л. Фельдмана «Система максимальных поставов на распиловку» (1932 г.). Он дал сравнительную оценку двум способам распиловки: вразвал и с брусовкой. Путем теоретического поиска максимальных размеров обрезных досок в четных и нечетных поставах учёный определил без учета припусков на пропил и усушку наибольшие площади поперечных сечений обрезных досок (прямоугольников), которые можно вписать в круг верхнего торца бревна (рис. 4.8). При этом наибольшую площадь имеет квадрат со сторонами, равными 0,707d; наибольшая же площадь прямоугольников, вписанных в сегменты, будет при их толщине, равной 0,1d, и ширине 0,421d. Постав на первом проходе 0,1d/0,421d – 0,707d – 0,1d/0,421d, охватывающий 0,907d, был назван брусовым. Брусовый постав может быть преобразован в равновеликий развальный:

Брус, основанием которого является квадрат со стороной 0,707d, а длина соответствует длине бревен, был назван брусом максимального объема. Площадь поперечного сечения такого бруса F_брус=(0,707d)²=0,5d² , что составляет 63,7 % площади верхнего торца бревна. Объёмный выход обрезных пиломатериалов из бруса максимального объема составляет около 45...50 %.

Рис. 4.8 Схема Х.Л.Фельдмана к расчету максимальных поставов

Постав, который охватывал 0,907 верхнего диаметра бревна, был назван основным. Для основных брусовых и развальных поставов площадь использования верхнего торца бревна равна 85,7 %. Дополнительный постав составлялся для использования сбеговой зоны, размер которой выражается формулой , где R – радиус нижнего торца,

r – радиус верхнего торца. В этой зоне максимальный выход обрезных пиломатериалов можно получить только при укорочении длины боковых досок.

Поставы Х.Л. Фельдмана являлись частным решением, справедливым для цилиндрических бревен и с коэффициентом сбега 1,18. При другом сбеге ширина основного постава может значительно отличаться от 0,907d. Х.Л. Фельдман впервые поставил вопросы о необходимости подсортировки бревен, рационального использования не только основной, но и сбеговой части бревен, укорочения боковых досок и возможности математически сравнивать различные способы распиловки.

Теория максимальных поставов была продолжена Д.Ф. Шапиро. Им разработан аналитический метод определения размеров необрезных досок и оптимальной ширины b₀ и длины l₀ обрезных досок, выпиливаемых из параболической зоны бревна.

4.5.2 Ширина и длина необрезных пиломатериалов

Известно, что поверхность параболоида вращения с образующей

у ² = 2рх (рис. 4.9, а) выражается уравнением

с =y²+z ² . (4.8)

При распиловке бревен вразвал плоскости всех пропилов параллельны между собой. Рассмотрим случай, когда плоскости пропилов параллельны продольной оси бревна, продукция - необрезные доски. Сечение параболоида вращения плоскостями, параллельными координатной плоскости уох, удаленными от нее на расстояние z, будет давать параболы, уравнение которых можно получить из формулы 2рх=у² + z². Подставив в эту формулу a вместо z, получим у²=с–а². Из этого уравнения видно, что для всех парабол, полученных сечением параболоида вращения плоскостями, параллельными координатной плоскости уох, параметр 2р остается постоянным. Его можно выразить как функцию размеров бревна: L =x₂-x₁; d = 2у₁; D = 2у₂. Здесь d – диаметр верхнего торца, D – диаметр нижнего торца, L - длина бревна. При а = 0, уравнение параболы, проходящей через плоскость уох, у² = 2рх и х = у²/2р. Соответственно х₁=у₁²/2р; х₂=у₂²\2р. Заменив у₁= d/2 и y₂ =D/2, получим x₁=d²/4×2p; х₂ = D²/4×2p. Соответственно с этим L=x₂-x₁=(D²-d²)/4×2p.Откуда

2 p = (D² -d²)/4L. (4.9)

Ширина пласти необрезной доски увеличивается в направлении от верхнего торца к нижнему. Для определения ширины пласти доски на любом расстоянии от верхнего торца бревна следует перенести начало координат в центр его верхнего поперечного сечения (рис. 4.9, б). В новой системе координат текущие координаты у и z остаются без изменений, а координата х - изменяется и будет х = х' + х₁ где х' - расстояние от верхнего торца бревна до сечения, в котором определяется ширина доски.

Величина х₁ при у= d/2 будет равна x₁ = d²/4×2p, тогда х = х’ + (d²/4×2p). В уравнении у² = 2рх - z₀ заменим значение х выражением x’+ (d²/4×2p), значение 2р выражением из (4.9) и значение z₀ через а, как принято в практике составления и расчета поставов обозначать расстояние от оси бревна до пласти доски. Уравнение примет вид

у² = (D² - d²)/4L + (d²/4) - а².

Учитывая, что ширина пласти необрезной доски = 2у, получаем:

(4.10)

Из (4.10) можно вывести частные значения ширины и длины необрезной доски. При х' =0 получим ширину необрезной доски в верхнем торце бревна

. (4.11)

При х^’ = L получим ширину необрезной доски в нижнем торце

. (4.12)

Из (4.10) можно найти также полную длину необрезной доски l_н. Если доска находится в пределах верхнего торца бревна, т. е. при a≤d/2, полная длина необрезной доски равна длине бревна, l_н = L. Если доска своей наружной пластью вышла за пределы верхнего торца бревна, т. е. при a>d/2, полная длина доски будет меньше длины бревна, l_н<L. Очертание наружной пласти такой необрезной доски имеет форму полной параболы, а ширина пласти в верхнем конце доски равна нулю.

Подставив в (4.10) b_н =0; х' = L–l_н и решив выражение относительно l_н, получим

l_н = L[(D²-4a²)/(D²-d²)]. (4.13)

Стандартная необрезная доска должна иметь очертание наружной пласти в виде усеченной параболы, так как ширина в вернем конце не должна быть равна нулю. Наименьшая ширина ( ) необрезной доски со­ставляет для хвойных пород не менее 50мм и для лиственных пород не менее 40 мм. С учетом этого при опреде­лении длины стандартных необрезных досок следует исходить из следующих положений:

если , l_н=L;

если , l_н=L..

Для случая, когда l_н <L длину необрезной доски определяют, пользуясь (4.10). По формуле находят х', величину укорачивания доски по сравне­нию с длиной бревна, подставляя вместо b_н

Отсюда

х' = L[(b²_min - d² + 4a²)/(D² - d²)]. (4.14)

Длина стандартной укороченной необрезной доски составит l_н =L-х'.

При составлении поставов на распиловку бревен на необрезные доски необходимо кроме ширины и длины определять также толщину досок. В теории раскроя по этому вопросу нет никаких решений. Практически толщина необрезных досок в поставе назначается согласно спецификации.