28. Математическое ожидание случайной величины, его свойства.

Mx= x_к p_к

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m1 - число подшипников с внешним диаметром х1,

m2 - число подшипников с внешним диаметром х2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mn - число подшипников с внешним диаметром хn,

Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение Хср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х1, х2, ..., хn, c соответствующими вероятностями p1=m1/N, p2=m2/N, ..., pn=mn/N, так как вероятность pi появления подшипника с внешним диаметром xi равна mi /N. Таким образом, среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	. . .	Хn
Вероятности	p1	p2	. . .	Рn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

3 °. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2, ..., xn, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину

, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .

29. Дисперсия случайная величины, ее свойства.

Определение

-это среднее квадратное отклонение от своего матожидания (Dx). Dx=М(х-Мх)²

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

Dx=Mx²-(Mx)² где символ M обозначает математическое ожидание

м атожидание - среднее значение.

Дисперсия – разбросанные числа.

Хк	1	9	25
Рк	1/6	2/6	1/6

-Квадрат случайной величины.

Dx²= x²*x_к* p_к

Dх²=46/6=23/3

Dх=23/3-49/9=20/9

Средний квадрат отклонения:

Сигма=

Сигма= = )/3

Свойства:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании:

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания:

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: