14)Основные характеристики ф-ий

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

• область определения функции симметрична относительно нуля

• для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

• область определения функции симметрична относительно нуля

• для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х) f(X_max)

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

15) Последовательность и ее св-ва

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

• Для всякой подпоследовательности верно, что

• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

16) Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

• Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

• Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

• Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

17) Предел ф-ии. Св-ва пределов

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции обозначается как f(x) ->a, при x->a или через символ предела

Основные свойства пределов:

• Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

• Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

• Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

• Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

• Предел произведения

Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

• Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

• Предел степенной функции

где основание b > 0.

• Предел показательной функции

где основание b > 0.

• Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

18) Замечательные пределы

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

19) Понятие производной. Таблица производной

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Функция f(x)	Производная f’(x)

20) Правило дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

21) Производные высших порядков

Формулы для вычисления производных высших порядков.

Где

22) Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции Z в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x) второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x)

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель.

23) Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум

Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x').

Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x₀, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x₀, что для любой точки х из (a, b), х> x₀, выполняется неравенство f (x₀) £ f (x), и для любой точки х из (a, b), х< x₀, выполняется неравенство f (x) £ f (x₀).