Практикум по решению задач по темам лекций

Задача на определение цены приобретения векселя

Торговец «А» приобрёл по 900 р. вексель номиналом 1 000 р. за два месяца до погашения. По какой цене этот вексель должен приобрести торговец «Б» за месяц до погашения, чтобы эффективность операций и «А», и «Б» с этим векселем была одинаковой?

Решение. Очевидный ответ – 950 р. к сожалению, неправилен. Прибыль «А» от операции будет равна 950 р. – 900 р. = 50 р. Относительная величина прибыли равна: 50 р. / 900 р. * 100% = 5,56%. Прибыль «Б» также равна 50 р.: 1 000 р. – 950 р. = 50 р. Но относительная величина прибыли равна: 50 р. / 950 р. * 100% = 5,26%. Для правильного решения составим уравнение. Пусть X р. – это паритетная цена, при которой эффективность операций и «А» и «Б» одинакова. Тогда имеем:

X – 900 1 000 – X

------------ = ---------------

900 X

Выполняя нехитрые математические преобразования, получаем:

X² = 900 * 1 000

Откуда X = 948,68 р. Это число является среднегеометрическим от 900 и 1 000. Нетрудно проверить, что при такой цене, отличающейся от простого среднеарифметического 950 р., относительная величина прибыли и «А», и «Б» будет одинаковой – это примерно 5,41%, то есть среднее между 5,21% и 5,56%.

Данная задача интересна тем, что для её решения необходимо увидеть необычное в обычном. Условие простое, но оно таит в себе скрытый подвох. В это связи будет полезно также рассмотреть ещё одну задачу, которая, правда, напрямую не связана с рынком ценных бумаг, но, тем не менее, очень полезна для развития мышления.

Мотоциклист проехал из города «M» в город «N» со скоростью 60 км/ч, а обратно – со скоростью 40 км/ч. Нам надо определить среднюю скорость движения мотоциклиста на всём протяжении пути. Самый первый ответ, который приходит в голову – 50 км/ч, к сожалению, неправилен. Представим себе, что между городами «M» и «N» 240 км. Тогда дорогу туда мотоциклист преодолеет за 4 часа, а обратно – за 6 часов. Итого он затратит 10 часов. Суммарное же расстояние будет равно 480 км. Следовательно, средняя скорость движения будет равна: 480 км / 10 часов = 48 км/ч. Полученная величина называется средней гармонической. Её можно вычислить по формуле:

2

V_ср = ---------------

1 + 1

--- ---

V₁ V₂

где

V_ср – средняя скорость движения;

V₁ – скорость движения туда;

V₂ – скорость движения обратно.

Задача на определение цены облигации на первичном размещении, исходя из заданной доходности

На аукционе по размещению облигаций номиналом 1 000 р. и сроком на 3 года эмитент назначил процентные выплаты из расчёта 12% годовых, то есть, по 120 р. в год. Однако инвесторов это не удовлетворило. Они сказали:

– Хотим купить эти облигации под двадцать процентов годовых!

Один молодой инвестор, не долго думая, выступил вперёд:

– Я предлагаю компенсировать разницу в восемь процентов за счёт цены покупки. За три года мы должны получить дополнительно двадцать четыре процента или двести сорок рублей. Поэтому вычтем эту сумму из номинала. Получим семьсот шестьдесят рублей. Вот по этой цене мы и согласны купить бумаги. Тогда мы выйдем на уровень доходности в двадцать процентов годовых.

Однако эмитент на это не пошёл. Почему? Дело в том, что если будет реализовано предложение молодого инвестора, то тогда доходность инвестиций окажется значительно выше 20% годовых. Действительно, затратив 760 р. из расчёта на одну облигацию, инвестор получит 240 р. дохода за счёт разницы цены покупки и номинала, и 360 р. за счёт купонных процентов. Итого – 600 р. За три года это составит: 600 р. / 760 р. * 100% = 78,94%

А за один год – 26,32%. Почему это так? Дело в том, что уменьшая цену покупки, инвестор не только увеличивал числитель, но и уменьшал знаменатель дроби доходности. Мы столкнулись с «эффектом рычага» – ведь первоначальные затраты тоже уменьшались, а вначале мы считали их, исходя из цены номинала в 1 000 р. Как же нам быть? Как правильно определить цену покупки? Для этого есть специальная формула:

Ц_п + КВ

Ц_к = -------------------------------------------- , где

(1 + (Д * t) / (100% * 365 дней))

Ц_к – предполагаемая цена покупки облигации;

Ц_п – цена продажи или погашения облигации;

КВ – совокупные купонные выплаты за время владения облигацией;

Д – заданная доходность операции в процентах годовых;

t – время владения облигацией.

Подставляя в неё данные из задачи, получаем:

1 000 р. + 360 р.

Ц_к = ------------------------------------------------ = 850 р.

(1 + (20% * 3 года) / (100% * 1 год))

Чтобы выйти на уровень доходности в 20% годовых, инвесторы должны купить данные облигации не дороже 850 р.

Задача на определение наиболее выгодного варианта инвестиций

В кабинете директора банка происходит совещание, где решается вопрос: куда инвестировать временно свободные денежные средства? Заместитель директора предложил разместить их на депозит сроком полгода под 18% годовых. Начальник фондового отдела предложил купить ГКО со сроком погашения также через полгода по цене 950.00 р. с комиссией 0,5% от суммы сделки. Выслушав своих подчинённых, директор банка взял лист бумаги, ручку, калькулятор и быстро определил, какой вариант более выгоден.

Определить: Ход вычислений директора.

Решение: Прежде всего, директор банка определил затраты на покупку ГКО из расчёта на одну облигацию включая комиссию:

950.00 * 0.5% = 4.75 р.

950.00 + 4.75 = 954.75 р.

Потом определил потенциальную прибыль из расчёта на одну облигацию:

1000.00 – 954.75 = 45.25 р.

И, наконец, подсчитал доходность:

45.25 р. * 365 дней

Д = --------------------------- * 100% = 9.50% годовых.

954.75 р. * 182 дня

Заместитель директора предложил более выгодный вариант.

Задача на определение цены продажи на основании заданной доходности

Дано: Инвестор держит пакет обыкновенных акций НК «ЛУКойл», купленных 73 дня назад по средней цене 500 р.

Определить: По какой цене ему надо продать свои ценные бумаги сегодня, чтобы выйти на уровень доходности не менее 20% годовых?

Решение: 73 дня – это 73 / 365 = одна пятая часть года. Чтобы выйти на доходность в 20% годовых, инвестор должен получить ОВП равную: 20% / 5 = 4%. Отсюда вычисляем цену продажи: 500 р. + 4% = 520 р.