Краткое изложение теоретических основ метода ограничений для многокритериальных задач линейного программирования.

Задача линейного программирования служит математической моделью многих задач экономики и проектирования, встречающихся на практике. Для их решения с успехом применяются различные варианты симплекс-метода. Однако во многих практических задачах выбор решения по одному показателю качества недостаточен, так как требуется учитывать несколько таких показателей. Это приводит к необходимости решения многокритериальных задач линейного программирования.

Пусть задано некоторое множество линейных функций цели , где

, (1)

причем m первых функций цели максимизируются , а остальные M-m минимизируются . На вектор управляющих воздействий наложены линейные ограничения вида:

(2)

Для решения этой задачи применим метод ограничений. Для этого проведем преобразования исходных критериев, приводящих последних к безразмерному виду. В нашем случае, они примут следующий вид: для максимизируемых функций цели

(3)

а для минимизируемых функций цели

(4)

где - решение, принадлежащее множеству ограничений (2), оптимизирующее i–ю функцию цели, - решения, обеспечивающие наихудшие значения соответственно для максимизируемого и минимизируемого критерия на заданном множестве ограничений (2).

Компромиссным решением рассматриваемой многокритериальной задачи оптимизации будет такое эффективное решение, для которого взвешенные относительные потери будут одинаковы и минимальны, т.е.

где - вектор весовых коэффициентов исходных критериев, причем на последний накладывается ряд ограничений:

Согласно методу ограничений искомое компромиссное решение может быть найдено из решения системы линейных неравенств

(5)

для минимального значения параметра , при котором эта система еще совместна.

Решение системы (5) эквивалентно решению следующей задачи линейного программирования:

(6)

при ограничениях

(7)

……………………………..

(8)

где

(9)

(10)

(11)

Заметим, что в методе ограничений вначале отыскивается минимально возможное значение параметра , при котором система ограничений (5) совместна. Затем, если решение не единственное, то есть альтернативы эквивалентны с точностью до по значению параметра , то выбор компромиссной альтернативы осуществляется с помощью следующего критерия:

.

Этот метод не зависит от вида функциональной зависимости и множества допустимых альтернатив А. Требуется только для каждой конкретной задачи иметь эффективные способы проверки системы неравенств (5).

Рассмотрим иллюстративный пример:

Решим многокритериальную задачу линейного программирования методом ограничений. Пусть есть две целевых функций, формула (12).

(12)

Область задается системой линейных неравенств

(13)

Ограничения на положительность компонент вектора не накладываются. Рассмотрим случай, когда критерии равноценны, т.е. и будем искать решение, обеспечивающее одинаковые минимальные относительные потери.

В данном примере - план, оптимальный по первому критерию, - план, оптимальный по второму критерию, - соответствующие оптимальные значения критериев, - наихудшие значения критериев и на множестве ограничений (13). Функции относительных потерь

, . На рис. 1 изображена область определения задачи, точка А2 соот- ветствует оптимальному плану по второму критерию, точка А3– оптимальному плану по первому

Рисунок 1

критерию. Отрезок [A₂, A₃]представляет собой эффективные планы.

Эквивалентная задача линейного программирования примет вид:

при ограничениях

В результате решения поставленной задачи получим следующий результат

,

Полученное решение (1,694; 2,694) – единственное, и оно является точным решением задачи, так как для него , то есть, одинаковы относительные отклонения от оптимальных значений по обоим критериям.

На рисунке 2 изображена область значений относительных потерь . В плоскости значений преобразованных функций цели решение находится в точке С пересечения биссектрисы координатного угла с границей области , так как мы условились считать функции цели равноценными. Эффективные решения расположены на отрезке . Если же эту задачу решать введением глобального критерия в виде суммы взвешенных относительных потерь (14) с учетом ограничений (13), то получим в качестве компромиссного решения точку . Для этой точки относительные потери по функциям цели соответственно равны

Рисунок 2

.

(14)

Нетрудно видеть, что полученное решение обеспечивает оптимум второй функции цели. Это говорит о том, что равноценность критериев в этом случае не обеспечивается.

к.т.н., доц. кафедры АСУ

Воловщиков В.Ю.