25. Теорема о возможности улучшения опорного решения задачи лп Переход к нехудшему опорному плану.

Теорема 3. Если _k<0 для некоторого j=k и среди чисел a_ik ( )нет положительных, то целевая функция ЗЛП не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 4. Если опорный план Х ЗЛП не вырожден и _k<0, но среди чисел a_ik есть положительные ( не все a_ik<0), то существует опорный план X^’ такой, что Z(X^’)>Z(X).

Сформулированные теоремы позволяют выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.

26. Условие применимости симплекс-метода и теорема о неограниченности целевой функции на одз

27. Структура симплекс таблицы

28. Алгоритм симплексного метода решения злп

Симплекс-алгоргоритм состоит из следующих шагов. Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно положительное число _j . Если нет, то найденный план оптимален. Если же среди чисел _j имеются положительные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят разрешающие столбец и строку. Разрешающий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине положительным числом _j , а разрешающая строка — минимальным из отношений компонент столбца вектора А₀ к положительным компонентам разрешающего столбца.

5. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов А_i по векторам нового базиса и числа ₀ и _j.Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

29. Контроль за правильностью решения злп симплекс-методом

Контроль:

1. все таблицы должны содержать положительные компоненты

2. Оценки при базисных векторах всегда нулевые.

3. Последующие значения целевой функции меньше предыдущих.

30. Понятие о вырождении. Причины зацикливания в симплекс-методе

Зацикливание возможно только для вырожденных планов, т. е. на одной из итераций одна или несколько переменных опорого плана могут оказаться равными нулю, тогда возможен возврат к первоначальному базису. Теория и практика показывают, что зацикливание возникает при весьма маловероятном сочетании условий. При появлении цикла следует изменить последовательность вычислений путем изменения выбора разрешающего столбца. Другой способ рекомендует изменить выбор разрешающей строки.

31. Понятие двойственности в линейном программировании. Правила построения двойственных задач

Дадим определение двлйственной задачи по отношению к общей ЗЛП, состоящей в нахождении максимального значения функции Z=C₁x₁+C₂x₂+...+C_nx_n (2.67)

при условиях

(2.68) x_j0 (2.69)

Опр: Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

Z^*=b₁y₁+b₂y₂+...+b_ny_n (2.70)

при условиях

(2.71) y_i 0 (2.72)

называется двойственной по отношению к задаче (2.67)—(2.69).

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (2.67)—(2.69) задается на максимум, а целевая функция двойственной (2.70)—(2.72) — на минимум.

2. Матрица

,

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (2.68) исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу соотношений в системе (2.70) исходной задачи, а число ограничений в системе (2.71) двойственной задачи— числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (2.70) двойственной задачи являются свободные члены в системе (2.68) исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы (2.71) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (2.67) исходной задачи.

5. Если переменная х_j исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе (2.71) двойственной задачи является неравенством вида «». Если же переменная х_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j -е соотношение в системе (2.71) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (2.68) исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i-е соотношение в системе (2.68) исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи y_i 0. В противоположном случае переменная y_i может принимать как положительные, так и отрицательные значения.