- •Содержательное описание
- •Формализация.
- •Решение.
- •Двойственная задача.
- •Экономический смысл.
- •Решение с помощью iblp.
- •Решение по второй теореме двойственности.
- •Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.
- •Решение через матрицу, обратную к базисной.
- •Экономическая интерпретация трех теорем двойственности.
Решение по второй теореме двойственности.
Согласно второй теореме двойственности, планы x* и y* исходной и двойственной задачи соответственно, являются оптимальными тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:
x**(y**A-c)=0 (11)
y**(x**AT-b)=0 (12)
Для нашей задачи:
x 1*(-y1+y3-2) =0
x2*(-y2+y4-1) =0
x3*(3*y3+y4-6) =0 (13)
x4*(3*y3+5*y4-12) =0
x5*(5*y3+2*y4-10) =0
y1*(-x1+800)=0
y 2*(-x2+1000)=0 (14)
y3*(x1+3*x3+3*x4+5*x5-2000) =0
y4*(x2+x3+5*x4+2*x5-3000) =0
Исходя из того, что в исходной задаче x1 и x3 были равны 0,
а x2, x4, x5 ≥0 получаем:
-y2+y4-1=0 (15)
3*y3+5*y4-12=0 (16)
5*y3+2*y4-10=0 (17)
y1=0 (18)
Решая систему (16), (17) получаем y3=26/19=1.36842 y4=30/19=1.57894, подставляя в (15) получаем y2=11/19=0.578947
Ответ:
y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894); T*=6894.73
Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.
Для решения данным методом необходимо привести задачу к каноническому виду и перерешать ее М-методом
Исходная симплекс таблица:
|
2 |
1 |
6 |
12 |
10 |
|
|
M |
M |
|
|
Cb |
БП |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
b |
0 0 M M |
x6 x7 x8 x9 |
1 0 1 0 |
0 1 0 1 |
0 0 3 1 |
0 0 3 5 |
0 0 5 2 |
1 0 0 0 |
0 1 0 0 |
0 0 1 0 |
0 0 0 1 |
800 1000 2000 3000 |
|
F |
1 |
1 |
4 |
8 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Оптимальная симплекс-таблица:
|
2 |
1 |
6 |
12 |
10 |
|
|
M |
M |
|
|
Cb |
БП |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
b |
0 1 10 12 |
x6 x2 x5 x4 |
1 0 0.2631 -0.105 |
0 1 0 0 |
0 0 0.6315 -0.052 |
0 0 0 1 |
0 0 1 0 |
1 0 0 0 |
0 1 0.1578 -0.263 |
0 0 0.2631 -0.105 |
0 0 -0.157 0.2631 |
800 1000 210.526 315.789 |
|
ƒ |
-0.631 |
0 |
-0.315 |
0 |
0 |
0 |
-0.578 |
-M +1.368 |
-M +1.578 |
6894.73 |
известно, что справедливы следующие формулы:
Δj=CB*Aj-Cj (19)
y*=Cb*B-1 (20)
В системе ограничений исходной задачи переменной y1 соответствует первое ограничение, содержащее базисную переменную x6, переменной y2 –второе, содержащее базисную переменную x7, переменной y3 – третье, содержащее базисную переменную x8 и y4 – четвёртое с переменной x6.
Δ6=CB*A6-C6 Δ7=CB*A7-C7 Δ8=CB*A8-C8 Δ9=CB*A9-C9
y*=Cb*B-1= Cb*(A6;A2;A5;A4)-1= Cb*(A’6;A’7;A’8;A’9),
откуда y1=Cb*A’6 y2=Cb*A’7 y3=Cb*A’8 y4=Cb*A’9;
y1= Δ6+C6=0; y2= Δ7+C7=-0.578947; y3= Δ8+C8=1.36842; y4= Δ9+C9=1.57894;
y2 получился равным -0.578947 , но это не ошибка, так как нам необходимо решить не двойственную к канонической задаче, а двойственную к симметричной. Поэтому можно сделать замену: y’2=-y2 Получаем оптимальное решение:
y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894) T*=6894.73