- •Содержательное описание
- •Формализация.
- •Решение.
- •Двойственная задача.
- •Экономический смысл.
- •Решение с помощью iblp.
- •Решение по второй теореме двойственности.
- •Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.
- •Решение через матрицу, обратную к базисной.
- •Экономическая интерпретация трех теорем двойственности.
Двойственная задача.
Построение:
Исходная модель минимизируется, значит все ограничения - неравенства исходной модели (5) должны быть типа ≥ , поэтому умножим неравенства (1) и (2) на -1
-x1≥-800
-x2≥-1000 (9)
x1+3*x3+3*x4+5*x5=2000
x2+x3+5*x4+2*x5=3000
xi≥0, i=1..5
2) Исходная модель на минимум, значит двойственная к ней будет на максимум.
3) Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи будет представлять собой транспонированную матрицу соответствующих коэффициентов исходной задачи.
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
3 |
5 |
0 |
0 |
5 |
2 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
3 |
5 |
0 |
1 |
1 |
5 |
2 |
A= AT=
4) Число переменных в двойственной задаче должно быть равно числу ограничений в исходной – 4. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной -5. Переменная двойственной задачи y1 соответствует первому ограничению исходной задачи, переменная y1 – второму,– y3 третьему, y4 – четвёртому.
5) Коэффициентами при переменных y1, y2, y3 и y4 в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи вектор b=(-800;-1000;2000;3000),
а правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи, вектор с=(2;1;6;12;10).
6) Все переменные исходной задачи неотрицательны, то все ограничения двойственной задачи будут неравенствами типа ≤ т.к. в двойственной задаче ограничение на максимум. (1) и (2) ограничения исходной задачи - неравенства, (3) и (4) –равенства.
Значит y1 и y2 должны быть ≥0, y3 и y4 могут быть любого знака.
Исходя из условий 1-6, получаем двойственную задачу:
- y1+y3≤2
-y2+y4≤1
3*y3+y4≤6 (10)
3*y3+5*y4≤12
5*y3+2*y4≤10
yi≥0, i=1,2; yjЄR j=3,4
T=-800*y1-1000*y2+2000*y3+3000*y4→max
Экономический смысл.
Из ограничений системы (10) видно, что размерности переменных y [руб/шт] –стоимость единицы товара. Экономический смысл переменных y3 и y4 –стоимость покупки 1 детали типа Y и Z соответственно любым из 5 способов; y1 и y2 – выгода от покупки в фирме С деталей типа Y и Z. Критерий T- суммарная прибыль фирм C, D, E.
Решение с помощью iblp.
Получаем оптимальное решение:
|
-800 |
-1000 |
2000 |
3000 |
|
|
|
|
|
|
|
Cb |
БП |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
y8 |
y9 |
b |
0 0 0 0 |
y5y4 y7 y2 y3 |
-1 0 0 0 0 |
0 0 0 1 0 |
0 0 0 0 1 |
0 1 0 0 0 |
1 0 0 0 0 |
1 0 0 -1 0 |
0 0 1 0 0 |
0.1052 0.2631 0.0526 0.2631 -0.105 |
-0.2631 -0.157 0.631 -0.157 0.2631 |
0.631578 1.57894 0.315789 0.578947 1.36842 |
|
ƒ |
800 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1000 |
0 |
315.7 |
210.5 |
6894.73 |
y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894; 0.631578;0; 0.315789;0;0)