МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
|
Кафедра математики
Ен. Ф. 01 математика
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и задания
к лабораторной работе
«Метод наименьших квадратов»
для инженерных специальностей
Уфа 2006
00УДК 51(07)
ББК 22.1я73,22.161.6
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № от 2006 года)
Составители: доцент Лукманов Р.Л., ст. преподаватель Гильманова Г.Х.
Рецензент: ст. преподаватель кафедры физики Посняк В.К.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
1 Метод наименьших квадратов
Пусть требуется приблизить функцию , заданную таблицей своих значений в точках , в некотором классе функций Например, класс многочленов степени 2 имеет вид Метод наименьших квадратов состоит в таком подборе параметров при котором сумма квадратов отклонений значений функции от в точках минимальна. Другими словами требуется минимизировать функцию многих переменных
Приравняв нулю частные производные функции , получим систему уравнений
(1)
решая которую, можно найти параметры .
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1.1 Линейная модель
Пусть . Тогда , и система (1) примет вид
Или после преобразований
(2)
Таким образом, для нахождения коэффициентов получили линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую можно записать в виде матричного уравнения
, (3)
где
, , ,
решив которую, найдем коэффициенты аппроксимирующей функции .
Проверим правильность работы модели, построив сначала приближающую функцию для точек графика заранее известной функции
Реализация в пакете Mathcad (в фигурных скобках приведены комментарии).
ORIGIN:=1
{ Задаем массивы }
{ Задаем число узлов }
{ Вычислим элементы матриц А и В для системы (2) }
{ Определим матрицы А и В }
{ Решаем матричное уравнение (3) с помощью встроенной процедуры lsolve. Если метод реализован правильно, то решение этого уравнения должно совпадать с коэффициентами функции f(x) }
{ Строим заданные точки и график функции }
{ Вычислим сумму квадратов отклонений }
{ , т.к. точки расположены на одной прямой. В общем случае }
Здесь приведен отладочный вариант программы. Правильность работы программы подтверждается совпадением точек с соответствующими точками графика. При практическом использовании в качестве X и Y вводятся экспериментальные значения.
Пример 1. Для функции, заданной таблицей
х у |
0.2 -1 |
1.2 -0.8 |
2.2 -0.2 |
3.3 0.2 |
4.3 1 |
построить линейную аппроксимацию методом наименьших квадратов.
При решении этой задачи в приведенной выше программе в качестве Х и У вводятся заданные табличные значения. Аппроксимирующее линейное приближение имеет вид , График приближающей функции и исходные точки изображены на рисунке 1:
Рисунок 1