- •Матрицы и их приложение к исследованию и решению системы линейных алгебраических уравнений Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
- •Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:
- •Усл. Печ. Л____ Тираж_____экз. Заказ №______
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Башкирский государственный аграрный университет»
Кафедра математики
Матрицы и их приложение к исследованию и решению системы линейных алгебраических уравнений Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Методические указания
к выполнению расчетно- графической работы №1
по дисциплине «Математика»
Направление 110800 Агроинженерия
Уфа – 2008
УДК 378.147:51
ББК 74.58:22.1
М34
Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол №14 от 6 декабря 2002 года) и заседанием кафедры математики (протокол №5 от 28 декабря 2002 года)
Составители:
доцент Пономарева Л.А.
ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики
доцент Лукманов Р.Л.
Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.
1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.
3. Умножение матриц и его свойства.
4. Обратная матрица, ее строение.
5. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.
6. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
7. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.
Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.
Задача 1. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как , то система совместна и неопределена.
Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно .
Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные.
Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:
, , .
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Перепишем ее в виде:
или
Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы:
; частное решение .
Задача 2. Исследовать систему линейных уравнений:
Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Так как , то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение , не имеющее решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:
Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как , то система неопределенна. В качестве главных переменных можно выбрать и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных - и .
Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
Из второго уравнения получим . Подставляя это выражение в первое уравнение, получим .
Обозначая свободные переменные: через , через , запишем общее решение системы:
.
Фундаментальную систему решений образует, например, пара решений и .
Ответ: общее решение системы ;
фундаментальная система решений .