9. Свойства параллельных плоскостей (1*, 2*)

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны 

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

10. Тетраэдр и параллелепипед

а) Определение

Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками.

Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм

б) Название элементов

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

в) Свойства параллелепипеда

Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны

г) Построение сечений

11. Перпендикулярности прямой и плоскости

а) Определение (п.15,16)

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости

б) Лемма (п.15)

в) Теоремы о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (п.16)

1) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны  2) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая тоже перпендикулярна этой плоскости

г) Признак перпендикулярности прямой и плоскости (п.17)

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

д) Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости (п.18)

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

1. Аксиомы стереометрии (А1, А2, А3)

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

2. Теоремы о способах задания плоскости

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна

3. Теоремы о параллельных прямых (п.4)

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

4. Параллельность трех прямых

а) Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

б) О параллельности двух прямых третьей (доказательство)

Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же третьей прямой, то они параллельны и между собой.

Доказательство:

Пусть AB II MN и CD II MN . Если бы AB и CD были не параллельны, то они пересекались бы в некоторой точке O, через которую были бы проведены две прямые (AB и CD), параллельные MN, что противоречит аксиоме о параллельных прямых. AB и CD не могут иметь общей точки, следовательно AB II CD.