Задача 7.

Составить самостоятельно и решить задачу на использование формулы Байеса в актуарных расчетах типа задачи об ответственности владельца автотранспорта (придумать свое другое подобное условие) (3-4 класса).

Известно, что 20% стрелков - «профессионалы» и попадают в цель с вероятностью 0,9. Для 70% стрелков «любителей» вероятность попадания 0,5. 10% стрелков - «новички», вероятность попадания для них равна 0,2. Проанализировать ситуацию с использованием формулы Байеса и сделать выводы, как влияет попадание и непопадание в цель на перемещение стрелков в другие классы.

Решение:

Тип	P(Hi)	P(A/Hi)	P(Hi) P(A/Hi)	P(Hi/A)	P(not A/Hi)	P(Hi) P(not A/Hi)	P(Hi/not A)
профессионалы	0,2	0,9	0,18	0,33027523	0,1	0,09	0,192513
любители	0,7	0,5	0,35	0,64220183	0,5	0,25	0,534759
новички	0,1	0,15	0,015	0,02752294	0,85	0,1275	0,272727
		P(A)=	0,545		P(not A)=	0,4675

Таким образом, сравнив априорные и апостериорные вероятности, можно сделать вывод, что, при каждом попадании стрелка в цель апостериорные вероятности отличаются от априорных, что уменьшает вероятности отнесения человека к благополучным классам и увеличивает вероятности его зачисления в неблагополучные

Задача 8.

Исследовать однородный страховой портфель объемом 5000 со страховой суммой: S=3000у.е., выплачиваемой полностью при наступлении страхового случая, вероятность которого: 0,002

Найти рисковую премию, нетто-премию, если надбавка должна обеспечить надежность не ниже: (71) %. Брутто-премию, если доля нагрузки в тарифе: (13) %. Какой резерв нужен страховщику, чтобы повысить надежность на 10 %? Оценить возможность перестрахования, если относительная надбавка у перестраховщика на треть больше, чем у страховщика, а Страхнадзор требует повысить надежность до (99) %. (Считать, что НП перестрахования оплачивается из СНП цедента.)

Так как p мало, используем для расчетов вероятностей формулу распределения Пуассона: P_n(k)= ,

где λ=n∙p=5000∙0,002=10 - параметр распределения Пуассона;

P_n(k) - вероятность того, что в портфеле из n договоров число страховых случаев будет равно k

k	Вероятность Pn(k)	Накопленная вер-ть ΣPn(k)
0	0,000045400	0,000045400
1	0,000453999	0,000499399
2	0,002269996	0,002769396
3	0,007566655	0,010336051
4	0,018916637	0,029252688
5	0,037833275	0,067085963
6	0,063055458	0,130141421
7	0,090079226	0,220220647
8	0,112599032	0,332819679
9	0,125110036	0,457929714
10	0,125110036	0,583039750
11	0,113736396	0,696776146
12	0,094780330	0,791556476
13	0,072907946	0,864464423
14	0,052077104	0,916541527
15	0,034718070	0,951259597
16	0,021698794	0,972958390
17	0,012763996	0,985722386
18	0,007091109	0,992813495
19	0,003732163	0,996545658
20	0,001866081	0,998411739
21	0,000888610	0,999300349

Таким образом, можно утверждать, что с практической достоверностью > 0,999 в портфеле произойдет не более 21 страхового случая.

а) Собранной с портфеля суммарной рисковой премии СРП=n∙p∙S=5000∙0,002∙3000=30000 у.е. будет достаточно для выплаты по 10 страховым случаям.Это обеспечивает вероятность выживания (см. таблицу) 0,583039750<1-=0,61, то есть надежность ниже заданной. Нужно рассчитать рисковую надбавку, чтобы иметь возможность покрыть не менее 12 страховых случаев, чтобы обеспечить рисковой надбавкой, заданную в условии надежность 71%.

Для этого рисковая надбавка должна быть:

,

т.е. рисковая надбавка должна составлять 20% от рисковой премии.

Таким образом, получаем премии на один договор:

Рисковая премия: РП=p∙S=0,002∙3000=60 у.е;

Нетто-премия: НП=РП∙(1+θ)=60∙1,2=72 у.е.;

Брутто-премия:

у.е.

Итак, мы получили, что собранная со всего портфеля рисковая премия покрывает только 10 страховых случая, но это намного меньше заданной надежности в 71% (только 61% надежности). За счет рисковой надбавки мы собираем со всего портфеля сумму для покрытия 12 страховых случаев.

б) Если иметь резерв Uв размере одной страховой суммы S=3000 у.е. для покрытия 13-го страхового случая, то надежность будет равна 86,4%, что явно больше основной надежности в 71% и даже превышает требуемую по условию надежность 81% (повышение надежности на 10%).

в)

Предположим, что страховая компания приняла решение удержать случаи до 13 включительно (обеспечивает выживание >86,4%), а на перестрахование передает 14 случай, чтобы обеспечить надежность > 91%.

Если будет 14 страховых случаев, перестраховщик оплачивает один из них, выплачивает одну страховую сумму S = 3000 у.е.

РП_Re=M(Y_Re)= 3000∙ 0,315686= 947,0567 у.е.

По условию рисковая надбавка перестраховщика:

Следовательно, его нетто- и брутто-премии составят:

Задача 9.

Есть три вида имущества А, В и С, имеющего страховые суммы 300, 6000 и 150000 у.е. и соответственно ставки премии по договорам составляют 0,01, 0,02 и 0,03.

Страховая компания прибегает к перестрахованию своих рисковпо следующим договорам перестрахования:

б) эксцедента суммы с максимумом 3 линии сверх : риск А – 150 у.е. , риск В –1500у.е. и риск С – 30000 у.е.:

в) эксцедента убытка 90000 у.е., превышающего 30000 у.е.;

По риску В в течение года происходит ущерб, равный 3000 у.е., по риску С - 75000 у.е. Сравните премии и убытки цедента и перестраховщика по всем видам договоров по итогам года страхования.

Рассмотреть 2 вида договоров перестрахования в соответствие с вариантами:

Решение:

б) эксцедента суммы с максимумом 3 линии сверх : риск А – 150 у.е. , риск В –1500у.е. и риск С – 30000 у.е.:

Составим вспомогательную таблицу:

риски	Страх. сумма Si	БП по риску	1 линия Max платит цедент	Максимум = 3 линии	Max платит Re	Доля ответствен-ности Re	Премия Re по риску
A	300	3	150	450	150	1,5	4,5
B	6000	120	1500	5400	600	0,9	108
С	150000	4500	30000	90000	60000	0,6	2700

Таким образом, премия перестраховщика будет равна доле от премии по каждому риску, определяемой его ответственностью за риск (последний столбец таблицы):

П_Re=4,5+108+2700=2812,5 у.е.

И, соответственно, такую же долю убытков по каждому риску должен оплатить перестраховщик:

Y_Re=0·1,5+3000·0,9+75000·0,6=47700 у.е.

в) эксцедента убытка 90000 у.е., превышающего 30000 у.е.;

Лимит ответственности перестраховщика задан – 90000 у.е., следовательно, доля его ответственности в это риске будет равна 90000/150000=0,6 .

Таким образом, премия перестраховщика будет равна доле от премии по этому риску:

П_Re=4500·0,6=2700 у.е.

Y_Re=60000-30000=30000 у.е.