2) Предположим наличие линейной зависимости между себестоимостью литья и выработкой литья на одного работающего с учетом производственного брака.

Рассчитаем параметры уравнения множественной линейной регрессии, используя МНК.

При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров уравнения регрессии:

Расчетные показатели представим в таблице:

	Y	x1	x2	Yx1	x12	Yx2	x22	x1x2	Yтеор	(Y-Yтеор)2
1	228,6	44,1	5,9	10081,26	1944,81	1348,74	34,81	260,19	295,05	4415,69
2	270,7	16,4	7,5	4439,48	268,96	2030,25	56,25	123	362,44	8415,95
3	231,5	44,5	8	10301,75	1980,25	1852	64	356	324,06	8566,80
4	111,8	83,9	1,3	9380,02	7039,21	145,34	1,69	109,07	165,73	2908,84
5	198,6	76,8	8,6	15252,48	5898,24	1707,96	73,96	660,48	280,30	6674,16
6	262,7	42,3	6,6	11112,21	1789,29	1733,82	43,56	279,18	307,85	2038,15
7	147,6	80,3	3,5	11852,28	6448,09	516,6	12,25	281,05	202,62	3027,27
8	239,2	32,5	6,3	7774	1056,25	1506,96	39,69	204,75	319,46	6441,31
9	157,9	63,2	3,4	9979,28	3994,24	536,86	11,56	214,88	228,86	5035,57
10	226,6	67,5	7,5	15295,5	4556,25	1699,5	56,25	506,25	279,80	2830,49
11	213,8	53,8	8,7	11502,44	2894,44	1860,06	75,69	468,06	318,90	11046,42
12	222,6	56,6	6	12599,16	3203,56	1335,6	36	339,6	276,25	2878,15
13	143	42,7	3,1	6106,1	1823,29	443,3	9,61	132,37	257,78	13173,78
14	177,2	58,8	3,9	10419,36	3457,44	691,08	15,21	229,32	243,04	4334,58
15	178,5	38,3	3,4	6836,55	1466,89	606,9	11,56	130,22	269,13	8213,56
16	230,5	20,5	2,8	4725,25	420,25	645,4	7,84	57,4	289,44	3474,11
17	223,9	42,2	7,7	9448,58	1780,84	1724,03	59,29	324,94	323,54	9928,18
18	187,4	48,4	2,9	9070,16	2342,56	543,46	8,41	140,36	245,74	3403,00
19	213,3	38,6	5,6	8233,38	1489,96	1194,48	31,36	216,16	299,71	7466,48
20	119,7	85	3,7	10174,5	7225	442,89	13,69	314,5	197,84	6106,51
Итого	3985,1	1036,4	106,4	194583,7	61079,82	22565,23	662,68	5347,78	5487,53	120379,03
Ср. знач.	199,255	51,82	5,32	9729,187	3053,991	1128,262	33,134	267,389	274,38	6018,95
Станд.откл.	45,0087	19,69982	2,255193
Дисперсия	2025,79	388,0827	5,085895

Решая систему методом Гаусса, находим:

Получили уравнение множественной регрессии:

Y = 206,522 – 1,352 · х₁ + 11,8 · х₂

Коэффициент множественной корреляции равен

- связь сильная

Коэффициент множественной детерминации равен 0,8371 или 83,71%, т.е. 83,71% вариации себестоимости 1 т литья объясняется за счет изменения выработки литья на одного работающего и брака литья.

3) оценим значимость полученных уравнений на уровне  = 0,05.

Уравнение парной линейной регрессии у = 283,056 – 1,617·x:

F_табл = 4,35 < F_факт, при а = 0,05.

Следовательно, отклоняется гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

Уравнение множественной регрессии Y = 206,522 – 1,352 · х₁ + 11,8 · х₂

F_табл = 4,41 < F_факт, при а = 0,05.

Таким образом, отклоняется гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

4) установим значимость коэффициента регрессии при X₂ на уровне  = 0,05:

Оценку статистической значимости параметра регрессии а₂ прове­дем с помощью t-статистики Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу H0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля:

t_табл для числа степеней свободы и составит 2,101.

Определим случайную ошибку :

,

где S² – остаточная дисперсия на одну степень свободы,

Тогда .

Фактическое значение t-статистики ниже табличного значе­ния:

поэтому гипотеза H₀ принимается, т.е. параметр а₂ случайно отлича­ется от нуля и статистически незначим.

5) получим точечную оценку среднего значения себестоимости 1т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья составляет 5%:

Y = 206,522 – 1,352 · 40 + 11,8 · 5 = 206,522 - 54,08 + 59 = 211,442 (руб.)

Задание 2.

Имеются следующие данные о численности населения США в 1950-1985 гг. (млн. чел.)

Год	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
yt	152,3	154,9	157,6	160,2	163,0	165,9	168,9	172,0	174,9
Год	1959	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967
yt	177,8	180,7	183,7	186,5	189,2	191,9	194,3	196,6	198,7
Год	1968	1969	1970	1971	1972	1973	1974	1975	1976
yt	200,7	202,7	205,1	207,7	209,9	211,9	213,8	216,0	218,0
Год	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
yt	220,2	222,6	225,1	227,7	230,0	232,3	234,8	237,0	239,3

Требуется обработать эти данные, выполнив следующие действия:

1. представить ряд графически;

2. подобрать подходящее уравнение тренда по методу наименьших квадратов или подходящую скользящую среднюю, если характер тренда неясен;

3. удалить трендовую составляющую из временного ряда и построить график остатков;

4. проанализировать поведение ряда остатков.

Решение.

1) Построим график динамического ряда. По оси Х откладываем годы, по оси Y – численность населения, млн. чел.:

График показывает увеличение численности населения США и позволяет предположить линейную форму тренда изучаемого показателя.

2) В данном случае для выражения основной тенденции мы применим метод аналитического выравнивания по прямой.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение .

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров и :

где у – исходный уровень ряда динамики;

n – число уровней ряда;

t – показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего.

Для того, чтобы упростить технику расчета, мы придадим показателям времени t такие значения, чтобы их сумма была равна нулю: . В нашей задаче число уровней ряда четное (n = 36), поэтому учет времени будет вестись полугодиями. При этом уравнения системы примут следующий вид:

и ,

откуда - представляет собой средний уровень ряда динамики ();

.

В результате получаем следующее уравнение основной тенденции изменения численности населения США в период с 1950 по 1985 г.:

, где t – порядковый номер полугодия.