11. Теорема равновесия

Tеорема равновесия

Пусть Х*, У* – оптимальные решения основной (II) и двойственной задач (II*). Если компонента плана Х* строго положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как равенство, если компонента плана Х* имеет нулевое значение, то ограничение двойственной задачи выполняется как неравенство.

¨Доказательство:

Векторы Х* и У* являются допустимыми решениями задач, т.е. удовлетворяют условиям АХ* = В, Х ≥ 0,У*А ≥ С или У*А – С ≥ 0.

Скалярное произведение векторов ( У*А – С) и Х*:

( У*А – С) Х* = (У*А) Х* – СХ* = У*(АХ*) – СХ* = У*В – СХ* = Z(X*) – F(Y*) = 0

Скалярное произведение двух неотрицательных ненулевых векторов равно нулю, если все попарные произведения их соответствующих координат нулевые.

Если x_j* > 0, Y*A_j – с_j = 0,

Если x_j* = 0, Y*A_j – с_j ≥ 0. ¨

12. Нахождение решения двойственных задач по решению исходной

Связь исходных и двойственных задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них задачи может быть получено непосредственно из решения другой. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при нахождении определенного решения одной из задач находится решение и двойственной задачи. Чтобы получить покомпонентное решение двойственной задачи при полученном решении исходной используют теоремы двойственности.

Соответствие между первоначальными и дополнительными переменными исходной и двойственных задач:

При переходе от стандартной задачи к основной вводятся дополнительные переменные: х_{п+ i} (1 ≤ i ≤ m)для исходной задачи , у_т+j (1 ≤ j ≤ п) для двойственной. Для найденных решений взаимно двойственных задач справедливо соответствие: x_j « у_т+j, х_{п+ i} « у _i

Теорема

Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной взаимно двойственной задачи соответствуют нулевые компоненты другой задачи, т.е. если x_j *> 0, то у_{т + j}* = 0, если х_{п + i} *> 0, то у _i * = 0 и аналогично, если у _i *> 0, то х _{п + i}* = 0, если у_{т + j}* > 0, то x_j* = 0.

13. Двойственный симплекс метод