4. Метод искусственного базиса (м-метод)

Для случая, когда недопустимого первоначального базисного решения или отсутствия в исходной матрице коэффициентов единичной подматрицы удобнее пользоваться так называемым М - методом, или методом искусственного базиса. Он заключается в следующем.

В каждое уравнение, дающее отрицательную компоненту в базисном решении, вводим свою новую неотрицательную искусственную переменную y₁, y₂, …, y_k, которая имеет такой же знак, что и свободный член в правой части уравнения. В первой таблице включаем в число основных все искусственные переменные и те обычные добавочные переменные, которые определяют неотрицательные компоненты базисного решения. Составляем новую линейную функцию Т = F – М(y₁ + y₂ + …+ y_k), где М – произвольно большое число, и ищем ее максимум (Т – задача). М – функцией назовем выражение М(y₁ + y₂ + … + y_k). Справедлива следующая теорема.

Теорема

1. Если в оптимальном решении Т-задачи все искусственные переменные равны нулю, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи (т.е. Т_max= F_max, если y₁ = y₂ =…= y_k = 0, т.е. минимум М – функции равен нулю).

2. Если имеется оптимальное решение т-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна.

3. Если Т_max = ∞, то исходная задача также неразрешима, причем либо F_max = ∞, либо условия задачи противоречивы.

Из теоремы следует, что сначала следует найти минимум М - функции. Если он равен нулю и все искусственные переменные обращаются в ноль, то далее можно отбросить эти переменные и решать исходную задачу, исходя из полученного допустимого базисного решения. На практике можно находить не минимум М - функции, а максимум (– М) – функции.

5. Решение задач со смешанными ограничениями

Добавляются дополнительные и искусственные переменные, дальнейшее решение – симплекс методом. (в тетради)

6. Теорема о разрешимости расширенной задачи

(в тетради)

7. Двойственные задачи линейного программирования. Правила построения и модели.

8. Экономическая интерпретация двойственных задач

(в тетради)

9. Первая и вторая теорема двойственности

Первая теорема двойственности (основная)

Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Вторая теорема двойственности

Компоненты оптимального плана двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.

Замечание

Если в одной из взаимно двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то решение двойственной задачи вырожденное.

10. Основное неравенство теории двойственности

Пусть имеется пара двойственных задач (IV) и (IV*). Для допустимых решений Х = ( х₁, х₂, …, х_п ) и У = ( у₁, у₂, …, у_т ) исходной и двойственной задач справедливо неравенство: Z(X) ≤ F(Y)

¨Доказательство:

Умножив неравенства системы ограничений исходной задачи (IV)

a_i1x₁ + a_i2x₂ + …+ a_inx_n ≤ b_i , (1 ≤ i ≤ m).на соответствующие переменные двойственной задачи у₁, у₂, …у_т и, сложив левые и правые части, имеем:

Аналогично преобразовав систему ограничений двойственной задачи (IV*) путем умножения на переменные х₁, х₂, …х_п и суммирования, получим:

Левые части неравенств равны. B силу свойства транзитивности получим доказываемое неравенство Z(X) ≤ F(Y) ¨