Кинетическая энергия

Из повседневного опыта мы знаем, что тело массы может совершить работу, если столкнется с препятствием, или, говоря другим языком, попадет в поле некоторых сил, гасящих его скорость. Спрашивается можно ли найти характеристику тела, которая характеризует способность тела совершать работу. Из школьного курса известно, что такой характеристикой является кинетическая энергия. Прежде чем напомнить определение кинетической энергии заметим, что мы не ставим вопрос о том какую работу может совершить тело за счет других источников (например, взрывчатки, бензина в баке столкнувшегося с препятствием автомобиля и т.п.). Поэтому будем считать наше тело материальной точкой. Для материальной точки массы , которая движется со скоростью , кинетическая энергия по определению равна:

(39)

Из этого выражения видно что:

1. Кинетическая энергия имеет ту же самую размерность, что и потенциальная энергия и работа

2. Кинетическая энергия не зависит от направления движения

3. Кинетическая энергия растет пропорционально массе тела и квадратично растет с величиной скорости. Т.е. Зависимость от скорости куда более сильная, чем от массы.

Ещё одной особенностью кинетической энергии является то, что произведение массы на квадрат скорости делится на два. Чтобы понять, зачем этот множитель, посмотрим, как изменяется кинетическая энергия под действием некоторой силы .

(40)

Теперь можно воспользоваться вторым законом Ньютона:

(41)

Теперь понятно, почему выражение для кинетической энергии выбирается в таком виде, включая множитель 1/2. Да потому, чтобы скорость изменения этой самой энергии была равна мощности силы (сил), за счет которых она меняется. Теперь мы можем дать ответ на вопрос о том, как изменится кинетическая энергия нашего тела при его перемещении из точки в точку . Заметьте, мы не спрашиваем, какие координаты будет иметь наше тело, мы только интересуемся, как изменится кинетическая энергия при переходе из одной точки в другую. Бывают случаи, когда мы точно знаем, что тело в какой-то момент времени в данной точке окажется. Самый простой, это санки, которые когда-то доедут до конца горки. Итак, изменение кинетической энергии равно (вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница):

(42)

При переходе к последнему равенству мы воспользовались связью между работой и мощностью (5). Но если сила, которая действует на тело, является потенциальной (консервативной) то работу можно посчитать как разность потенциальных энергий (23):

(43)

Или, перенося слагаемые в соответствующие части, получаем:

(44)

Мы получили закон сохранения механической энергии в поле потенциальных сил, который можно сформулировать следующим образом:

«Полная энергия частицы, равная сумме потенциальной и кинетической энергии, остается постоянной величиной».

Ну а если у нас на тело действуют несколько сил, то выражение (42) нужно изменить с учетом того, что работа величина аддитивная. Аддитивная означает, что работа нескольких сил равна сумме работ сил действующих на материальную точку. В этом случае изменение кинетической энергии можно записать в виде (сравни с (42)):

(45)

Если не все силы, которые, действуют на частицу, являются потенциальными, то закон сохранения энергии можно переписать в виде:

,

(46)

где полная механическая энергия частицы равна:

,

(47)

а — работа неконсервативных сил.

Мы получили, что закон сохранения энергии для материальной точки, на которую действуют внешние силы как потенциальные, так не потенциальные можно сформулировать следующим образом: