- •Часть 1
- •1.2. Классификация измерений
- •1.3. Основные характеристики измерений
- •1.4. Классификация средств измерений по роли,
- •1.5. Метрологические характеристики средств измерении и их нормирование. Классы точности
- •2.2. Оценивание и способы исключения систематических
- •2.3.1. Оценка случайных погрешностей при нормальном распределении результатов наблюдений
- •2.4. Суммирование погрешностей при прямых измерениях
- •2.5. Оценка погрешностей при косвенных измерениях
- •3. Формы представления результатов измерений и показатели точности
- •Содержание
2.3.1. Оценка случайных погрешностей при нормальном распределении результатов наблюдений
Как показывает опыт, наиболее часто результаты реального физического эксперимента распределены по закону, называемому законом нормального распределения Гаусса (рис. 2. 1.);
(2.4.)
Эта функция задается двумя параметрами и ( - постоянная величина, называемая дисперсией распределения) и носит название функции Гаусса, а соответствующее распределение называется гауссовым или нормальным распределением. Отметим, что плотность такого распределения симметрична относительно , достигает максимального значения в точке и быстро стремится к нулю, когда становится большим по сравнению с .
Очевидно, что по своим свойствам такая функция вполне подходит для описания распределения результатов измерения при наличии только случайных погрешностей.
Аналогичным образом можно записать распределение другой случайной величины - истинной погрешности (рис. 2. 2.):
(2.5)
Индекс оставленный у , обозначает, что речь идет о распределении вероятностей появления погрешности отдельного измерения.
Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: 1) генеральным средним значением случайной величины( ) и 2) дисперсией( ). Генеральное среднее значение представляет собой то значение, относительно которого происходит разброс случайных величин. Так, например, в случае распределения отдельных результатов измерений генеральным средним значением будет "истинное" значение (рис. 2.1.) В случае распределения истинных абсолютных погрешностей ; это генеральное среднее равно нулю (рис. 2.2.).
Дисперсия характеризует быстроту уменьшения вероятности появления погрешности с ростом величины этой погрешности.
Под генеральной совокупностью подразумевается все множество возможных значений измерений ; или возможных значений погрешностей .
Остановимся несколько подробнее на связи между истинным значением измеряемой величины и средней величиной . На рис. 2.3. приведены в качестве частного примера положения и , полученного из некоторых измеренных значений .
Мы видим, что даже при фиксированных значениях и различные значения , приводят к различному положению относительно . Так как вероятность появления разных значений различна, то и вероятность появления разных значений также различна - с увеличением величины она уменьшается.
Таким образом, поскольку результаты отдельных измерений носят случайный характер, отклонение , т.е. величина абсолютной погрешности результата серии измерений, также имеет случайный характер, так как оно зависит от вероятности появления того или иного значения .
При малом числе измерений величина отдельного измерения довольно сильно влияет на величину . Однако при большом числе измерений влияние величины отдельного измерения на величину становится значительно слабее, и отклонение можно рассматривать как случайную величину, составленную из малых влияний величин отдельных измерений. В теории вероятностей доказывается, что распределение случайной величины описывается нормальным законом (2.5.) с другим значением дисперсии (связь между величинами и будет приведена ниже):
(2.6)
Вместо приближенного равенства можно записать: , или , но величина - оценка абсолютной погрешности результата - пока остается неопределенной. Следует различать - случайную величину (возможное значение ) и - частное значение этой величины, проявившееся в данной серии измерений.
Назовем доверительным интервалом интервал , в который по определению попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью. Надежностью или доверительной вероятностью результата серии измерений называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина выражается в долях единицы или в процентах.
Чем больше величина доверительного интервала т.е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений , тем с большей надежностью искомая величина попадает в этот интервал. Естественно, что величина надежности будет зависеть от числа произведенных измерений, а также от величины задаваемой погрешности . Так, например, при , выбирая равным значению , мы получаем согласно закону (2.6.) величину надежности . Другими словами, за пределы доверительного интервала ( , ) при повторении серии по измерений попадает доля от числа всех серии, т.е. примерно в 32% всех серий будет больше .
Аналогично, выбирая равным значению , мы получаем значение надежности, равное , за пределы доверительного интервала выпадает 5% результатов всех серий. Наконец, выбирая мы получим для надежности значение , т.е. за пределы доверительного интервала выпадает 0,3% результатов всех серий.
Перейдем теперь к рассмотрению - оценки погрешности результата серии намерений, остававшейся до сих пор неопределенной.
Необходимо установить, как выражается величина через измеряемые величины .
В случае большого числа измерений величина дисперсии , входящая в закон (2.5.), оказывается равной так называемому среднему квадрату погрешности отдельного измерения :
.
Однако, как правило, точное значение искомой величины нам неизвестно, и поэтому погрешности не могут быть вычислены. Вместо погрешностей находят обычно "измеряемые" абсолютные погрешности , равные . Все множество возможных значений распределено по закону, аналогичному (2.5.), и значение дисперсии о в этом законе совпадает со значением дисперсии в законе (2.5.).
При конечном числе измерений величина называется выборочным средним или средним выборки в отличие от генерального среднего, получающегося при . Выборка означает, что из бесконечного множества (генеральной совокупности) возможных значений , берется наугад значений.
В случае, когда истинное значение неизвестно, оценкой дисперсии является так называемая выборочная дисперсия или дисперсия выборки :
(2.8)
Подчеркнем, что при ограниченном числе величина является лишь оценкой дисперсии , а не равна ей, и, исходя из результатов измерений, мы можем определить непосредственно лишь величину , а не ( при ).
Корень квадратный из выборочной дисперсии определяет так называемую среднеквадратичную погрешность отдельного измерения:
.
Теперь покажем, как найти оценку погрешности результата всей серии из измерений, т.е. величину , с заданным значением надежности . Для этого найдем прежде всего, как связаны между собой и , т.е. дисперсии распределения погрешностей результата серии измерений и погрешностей отдельных измерений. В теории вероятностей показано, что дисперсия результата серии из измерений в раз меньшие дисперсии отдельных измерений, т.е. и ( - при большом числе серий).
Величину среднего квадратического отклонения - результата серии измерении можно оценить по следующей формуле:
(2.9) Оценки дисперсии и , полученные в (2.8.) и (2.9.), являются предельными, справедливыми лишь при , т.е. при большом числе измерений.
Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала для в случае малых приходится ввести новый коэффициент . Зтот коэффициент был предложен в 1908 г. английским математиком и химиком B.C. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом "Стьюдент" – студент, и получил впоследствии название коэффициента Стьюдента:
Коэффициент Стьюдента зависит от числа произведенных измерений и от величины надежности . Значения коэффициентов для разных значений надежности при разных значениях , приводятся обычно в виде таблицы.
Задавая вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. другими словами, задавая надежность , равную определённой величине (например, ), мы можем по числу проведенных измерений (например, ) определить по таблице значение коэффициента Стьюдента для этих данных. Оно равно . Тогда, рассчитав предварительно по формуле (2.9.), найдем погрешность :
. (2.10.)
После этого результат измерений можно записать в виде , что означает, что истинное значение величины попадает в доверительный интервал ( ) с надежностью, равной .