Примеры

Задача №1. Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции:

2. Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)

3. Непериодическая.

4. Найдём асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:

нет асимптот.

5. Найдём критические точки.

6. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.

ОХ: ,

OY:

7. Составим таблицу знаков производных и поведения функции.

		0	(0;2)	2	(2;4)	4
	-	0	+	0	-	0	+
y	убывает	0 min	возрастает	1 max	убывает	0 min	возрастает

8. Построим график функции.



Задача №2.Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1) Область определения функции: .

2) Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)

3) Непериодическая.

4) Найдём асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:

нет асимптот.

5)Найдём критические точки.

6)Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.

ОХ:

OY:

7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции и по её данным построим график функции.

		0	(0;1/2)	1/2	(1/2;1)	1	(1;+ )
	-		-	0	+		+
	убывает	0	убывает	-1 min	возрастает	0	возрастает

Решение:

Задача №4: Найти асимптоты функции:

Решение:

Так как функция не определена в точках = 1, то -вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту:

Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:

; .

.

Получили: - наклонная асимптота. 

Задача №5. Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции: .

2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)

3)Непериодическая.

4) Найдём асимптоты.

Вертикальные: , так как в этих точках функция не определена.

Найдём наклонную асимптоту.

Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:

; .

.

Наклонных асимптот нет.

5) Найдём критические точки и промежутки монотонности функции:

2. 

3. 

6)Составим таблицу знаков производных и поведения функции.

		-3		-1	(-1;1)	1
	-		-	0	+		+
	-		+	+	+		-
	убывает		убывает	-1	возрастает		убывает

7)Построим график функции.



Задача №6. Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1) Область определения функции: .

2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)

3)Непериодическая.

4) Найдём асимптоты.

Вертикальные: , так как функция терпит разрыв в этих точках.

Найдём наклонную асимптоту.

Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:

; .

-наклонная асимптота.

5) Найдём критические точки.

1. 

2. 

- не входит в область определения функции

6)Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.

ОХ:

7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции.

		0	4
	-			-
	-			+
	убывает			убывает

8) Построим график функции.

Задача №7.Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции .

2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)

3)Непериодическая.

4) Найдём асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Найдём наклонную асимптоту.

Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:

Наклонных асимптот нет.

5) Найдём критические точки.

6. Найдём точки перегиба.

ОХ:

7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции.

		2	(2;5/2)	5/2	(5/2;3)	3	(3;+ )
	-		+	+	+		-
	-		-	0	+		+
	убывает	1	возрастает	0	возрастает	-1	убывает

8) Построим график функции.

Задача №8. Исследовать функцию и построить её график.

Решение:

1)Область определения функции .

2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x).

3)Периодическая: .

4)Асимптоты отсутствуют.

5) Найдём критические точки.

6)Найдём точки перегиба.

Найдём точки пересечения графика функции с осями координат: с

	+	+	+	0	-	-	-	0	+
	+	0	-	-	-	0	+	+	+
	возр.	e	возр.		убывает		убывает		возр.