4. Правила дифференцирования.
1. Дифференцирование суммы, произведения, частного и обратной функции.
Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции (при условии, что ) и при этом
, (1)
, (2)
, . (3)
Следствие 1: если функция f дифференцируема в точке ч и – постоянная, то, т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.
Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке , , и если существует , то функция , обратная к функции , дифференцируема в точке , причём
. (6)
Дифференцирование сложной функции.
Теорема 3:
Если функция и дифференцируемы соответственно в точках x0 и y0 , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причём
(8)
Примеры
Задание 4. Найти производную .
Решение: Применим формулы дифференцирования частного и сложной функции. Получим:
Задание 4. Найти производную от функции
.
Решение: Перепишем функцию в виде:
.
Применим формулу дифференцирования сложной функции. Получим:
№6 Найти производную от функции
y= .
Перепишем функцию в виде:
.
Применим формулу дифференцирования сложной функции. Получим:
Задание 5. Найти производную от функции
.
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 6. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования сложной функции. Получим:
Задание 8. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы, частного и сложной функции. Получим:
Задание 9. Найти производную от функции
.
Решение: Перепишем функцию в виде: . Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 10. Найти производную от функции
.
Решение: Применим логарифмическое дифференцирование. Получим:
Задание 11. Найти производную от функции.
.
Решение: Перепишем функцию в виде:
Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 12. Найти производную от функции
.
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 13. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования произведения. Получим:
Задание 14. Найти производную второго порядка параметрически заданной функции.
Решение: Воспользуемся формулой производной параметрически заданной функции:
У нас
Задание 15. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке
Решение: Уравнения касательной и нормали к графику функции, заданной в параметрическом виде: , в точке соответствующей значению параметра , имеют вид: и . Здесь
В нашем случае
Далее, Следовательно, Поэтому уравнения касательной и нормали в точке, соответствующей значению параметра имеет вид:
и , соответственно.
Задание 16. Найти производную n-го порядка .
Решение:
, ,
.
Задание 17. Найти производную указанного порядка .
Решение: .
Задание 18. Найти производную второго порядка параметрически заданной функции.
Решение: производная первого порядка параметрически заданной функции вычисляется по формуле:
У нас:
производная второго порядка параметрически заданной функции вычисляется по формуле:
У нас