Т аблица для вычисления значения статистики x2 температура

№ класса	Границы интервала		Наблюдаемая частота Bi			Теоретическая частота Ei
1	[26;28,4)			4				1,865385			2,442704
2	[28,4;30,8)			3				5,072752			0,846937
3	[30,8;33,2)			8				7,611655			0,019813
4	[33,2;35,6)			7				6,306944			0,076158
5	[35,6;38]			3				2,88471			0,004608
				25				23,74145			3,390221

Построим кумулятивные линии значений X₁ X₂ X₃ :

Таблица 6

		Значения для кумулятивной линии
x1		4		7		12		20		25
x2		2		12		18		22		25
x3		4		7		15		22		25

Рис.1 Кумулятивная линия по пиву

Рис. 2 Кумулятивная линия по уткам

Рис.3Кумулятивная линия по температуре

Далее строим гистограммы эмпирической функции распределения:

Таблица 7

Значения для гистограммы и полигона часот
	X1	X2	X3
B1/N	0,16	0,08	0,16
B2/N	0,12	0,4	0,12
B3/N	0,2	0,24	0,32
B4/N	0,32	0,16	0,28
B5/N	0,2	0,12	0,12
B1/(N*h)	0,009091	0,04	0,066667
B2/(N*h)	0,006818	0,2	0,05
B3/(N*h)	0,011364	0,12	0,133333
B4/(N*h)	0,018182	0,08	0,116667
B5/(N*h)	0,011364	0,06	0,05
	х1	x2	x3
R1	17,6	3	28,4
R2	35,2	5	30,8
R3	52,8	7	33,2
R4	70,4	9	35,6
R5	88	11	38

Рис.4 Гистограмма выборки Х1

Рис.5 Гистограмма выборки Х2

Рис.6 Гистограмма выборки Х3

Сейчас необходимо построить полигон частот:

Рис.7 Полигон частот для выборки Х1

Рис.8 Полигон частот для выборки Х2

Рис.9 Полигон частот для выборки Х3

3. Сформулировать и проверить гипотезу о нормальном распределении выборочных данных на основе критериев коэффициентов асимметрии и эксцессов X²- Пирсона

Анализ показателей асимметрии и эксцесса.

Несмещённые оценки показателей ассиметрии и эксцесса находим по формулам:

Таблица 8

Несмещенные оценки
Асимметрии												Эксцесса
G11			G12			G13						G21		G22			G23
-0,2991376			0,437994			-0,48639						-0,91746		-0,31498			-0,45384

Для проверки гипотезы о нормальности распределения следует также вычислить среднеквадратические отклонения для показателей ассиметрии и эксцесса:

Таблица 9

Среднеквадратические отклонения
Асимметрии								Эксцесса
S(G1)									S(G2)
0,463683501									0,901721

Проверим следующие условия:

,

Условия выполняются одновременно для каждого из показателей, следовательно, гипотеза о нормальности исследуемых распределений не отклоняется. Однако это не значит, что они достоверны. Для получения более точных результатов используем другой критерий.

Воспользуемся критерием -Пирсона для проверки той же гипотезы.

ε = 0, 05 , число степеней свободы  = 5, 99

Значение статистики вычисляется по формуле:

=

где В_i- наблюдаемая абсолютная частота и Е_i- ожидаемая частота, вычисляемая в предположении о нормальном распределении значений фактора x.

Ожидаемая частота попадания в i-ый интервал равна:

E_i = = - Ф ,

где Ф - значение функции нормального распределения, вычисленное в точке z.

Таблица 10

Х1

№ класса	Границы интервала		Наблюдаемая частота Bi			Теоретическая частота Ei
1	[0;35,2)			7			6,4745		0,042652
2	[35,2;52,8)			5			6,548169		0,36603
3	[52,8;70,4)			8			6,056104		0,623955
4	[70,4;88]			5			3,562918		0,579639
				25			22,64169		1,612275

χ ² _расч.= 1,612275

< , значит основная гипотеза не отвергается.

Таблица 11

Х 2

№ класса	Границы интервала		Наблюдаемая частота Bi			Теоретическая частота Ei
1	[1;3)			2			3,649675		0,745663
2	[3;5)			10			6,99854		1,287234
3	[5;7)			6			7,344187		0,246023
4	[7;11]			7			5,542365		0,383356
				25			23,53477		2,662276

χ ² _расч.= 2,662276

< , значит основная гипотеза не отвергается.

Таблица 12

Х3

№ класса	Границы интервала		Наблюдаемая частота Bi			Теоретическая частота Ei
1	[26;28,4)			4			1,865385		2,442704
2	[28,4;30,8)			3			5,072752		0,846937
3	[30,8;33,2)			8			7,611655		0,019813
4	[33,2;35,6)			7			6,306944		0,076158
5	[35,6;38]			3			2,88471		0,004608
				25			23,74145		3,390221

χ ² _расч.= 3,390221

< , значит основная гипотеза не отвергается.

1. По имеющимся результатам наблюдений для каждого показателя определили основные статистические характеристики (среднее, смещенную и несмещенную дисперсии, коэффициент вариации, центральные и начальные моменты до четвертого порядка включительно, коэффициент асимметрии и эксцесса).

Среднее значение выпиваемого Робинзоном пива составляет 49,76%

от объёма фляги. Разброс значений характеристики : (X1)=804,92 он в 252 раза больше разброса значений характеристики по уткам. (X2)=3,19 и в 73 раза больше разброса значений характеристики по температуре (X3)=10,94. Полученные результаты говорят о наибольшей нестабильности первой характеристики, так как она имеет наибольшие разбросы. Так как коэффициент асимметрии для Х₁ положительный, значит доля того, что объём выпитого пива больше среднего, превышает долю того, что объём выпитого пива меньше среднего.

Среднее количество убиваемых Робинзоном уток составляет 5 штук в день. Коэффициент асимметрии положительный, значит, в большинстве случаев количество убитых уток было выше среднего. Кроме того, на количество убитых уток может температура.

Температура же в дни охоты в среднем составляла 32,2⁰С. Этот показатель является сравнительно удобным и точным для прогнозирования.

2. Определили, присутствуют ли в выборке аномальные наблюдения. Указали их номер и значения.

3. Провели разбиение выборки на классы, построили кумулятивную линию эмпирического распределения, гистограмму и полигон частот выборки.

4. Сформулировали и проверить гипотезу о нормальном распределении выборочных данных на основе критериев коэффициентов асимметрии и χ²-Пирсона.

5. Для проверки гипотезы о нормальности распределения были использованы два критерия: коэффициентов асимметрии и эксцесса и χ² – квадрат Пирсона. На основе расчетов первого критерия полученных, для всех 3-х характеристик был сделан вывод о том, что гипотезы не отвергаются. Второй показал что гипотезы о нормальности распределения X₁ X₂ отвергаются с вероятностью 95% а X₃ отвергается с вероятностью 80%

Все возникающие противоречия можно объяснить, прежде всего, недостаточным количеством наблюдений выборки.