3.7. Закон сохранения импульса

Запишем уравнения движения для всех частиц, взаимодействующих друг с другом с силами , на которые действуют внешние силы F_iвнеш, и сложим эти уравнения

(3,39)

Сумма всех внутренних сил равна нулю, поэтому (3.39) примет вид

(3.40)

где - полный импульс системы;

- импульс частицы.

Тогда при отсутствии внешних сил

. (3.41)

Итак, сформулируем закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Импульс системы можно представить в виде произведения суммарной массы системы частиц на скорость центра масс системы.

. (3.42)

3.8. Применение законов сохранения энергии и импульса

Абсолютно упругим называют удар, при котором механическая энергия тел не переходит в немеханические виды энергии (тепловая энергия, энергия деформации тела и др.).

Абсолютно неупругим ударом называют удар, при котором кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию.

Центральным называется соударение шаров, движущихся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Неупругий удар

После удара шары слипаются и останавливаются, либо движутся с одинаковой скоростью. При неупругом ударе применяется закон сохранения полного импульса

(3.43)

Из (3.43) найдем скорость тел после соударения

(3.44)

Упругий удар

Шары до соударения движутся либо навстречу, либо один шар догоняет другой. Применяются законы сохранения энергии и импульса:

Если потенциальная энергия тел до и после соударения не изменяется, то энергию системы можно считать равной сумме кинетических энергий, а полный импульс равным сумме векторов импульсов отдельных шаров:

До соударения

(3.45)

После соударения

(3.46)

Из закона сохранения энергии следует

(3.47)

Из закона сохранения импульса находим

(3.48)

Разделим уравнение (3.47) на уравнение (3.48) и запишем в виде

(3.49)

Умножим полученное уравнение (3.49) на и сложим с (3.48):

Умножим (3.49) на и вычтем из (3.48):

Скорости шаров после соударения:

(3.50)

Явление отдачи при вылете снаряда из орудия

Пусть в начальный момент орудие покоилось, следовательно, , После вылета снаряда скорость его равна , масса , скорость движения орудия , масса , импульс системы:

Вследствие закона сохранения полного импульса системы импульс после соударения равен импульсу до соударения (p = p0), а поскольку начальный импульс системы был равен нулю, следовательно, отсюда можно найти скорость отдачи орудия:

(3.51)

Контрольные вопросы:

1. Инерциальные системы отсчета.

2. Преобразование координат и скоростей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

3. Принцип относительности Галилея.

4. Масса как мера инертности тела.

5. Импульс материальной точки и системы материальных точек.

6. Сила как мера воздействия на тело.

7. Основные величины динамики вращательного движения.

8. Закон инерции Галилея.

9. Законы Ньютона. Примеры применения законов Ньютона.

10. Механическая работа. Мощность. Коэффициент полезного действия.

11. Потенциальное поле. Консервативные силы.

12. Механическая энергия. Законы сохранения энергии и импульса.

Глава 4. Силы в природе

4.1. Взаимодействие в природе. Закон всемирного тяготения

В настоящий момент установлено четыре вида взаимодействия в природе: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Взаимодействие передается с помощью поля. Сила характеризует меру воздействия на тело со стороны других тел.

Фундаментальными называются силы, которые нельзя свести к другим. Гравитационная сила, обусловленная всемирным тяготением:

(4.1)

и сила Кулона, с которой взаимодействуют два покоящихся точечных заряда

(4.2)

являются фундаментальными силами.

Другие силы, такие как: сила упругости, сила трения, не являются фундаментальными.

На основе законов Кеплера Ньютон установил закон всемирного тяготения. Легенда приписывает это открытие следующему событию: летом 1665 г. Ньютон, созерцая окружающую природу, обратил внимание на падающее яблоко. Он спросил себя, что заставило упасть это яблоко, и предположил, что между Землей и яблоком существует притяжение. Он заинтересовался, будет ли убывать сила, действующая на яблоко, по мере удаления от поверхности Земли? Ньютон предположил, что сила тяготения убывает с увеличением расстояния по закону

(4.3)

Отсюда, вероятно, он и вывел закон всемирного тяготения, который характеризуется следующим образом:

Сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

(4.4)

где  - гравитационная постоянная, =

Сила направлена по оси, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

В векторном виде

(4.5)

здесь - вектор, проведенный из точки 1, в которую помещено тело с массой , в точку 2, где находится тело с массой , - единичный вектор.

Согласно третьему закону Ньютона

.

Рис. 4.2.

Для определения гравитационной постоянной Г. Кавендиш в 1798 г. применил метод крутильных весов (рис. 4.2). На коромысле были помещены два легких шара с одинаковыми массами m = 0,729 г. Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерить силу притяжения легких шаров к тяжелым шарам с массами М = 158 кг.

Для тел, имеющих форму шара также справедлива формула (4.4). Если одно из тел представляет собой однородный шар большого радиуса (например, земной шар), а второе тело можно рассматривать как материальную точку (например, спутник), то – расстояние от центра шара до материальной точки.

Все тела создают вокруг себя гравитационное поле и, помещенные в это поле, сами испытывают действие гравитационной силы. Гравитационное поле характеризуется напряженностью:

(4.6)

где F – сила гравитационного взаимодействия. Отсюда следует, что

(4.7)

здесь - единичный вектор, - радиус-вектор, проведенный из точки, где расположено тело массой , в данную точку поля.

Размерность напряженности гравитационного поля G совпадает с размерностью ускорения [ ] = м/с2.

Согласно второму закону Ньютона

(4.8)

отсюда находим ускорение:

(4.9)

Вблизи поверхности Земли, т.е. на расстоянии от поверхности Земли , можно положить . В этом случае ускорение и называется ускорением свободного падения:

(4.10)

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли и уменьшается по мере увеличения высоты . На высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения имеет вид

(4.11)

Поскольку Земля представляет собой эллипсоид вращения, ускорение свободного падения зависит также от широты местности. На полюсах ускорение свободного падения больше, чем на экваторе, поскольку на полюсах расстояние до центра Земли меньше, чем на экваторе.

На величину ускорения влияет суточное вращение Земли. Сила тяжести складывается из гравитационной и центробежной сил.

(4.12)

Наименьшую величину ускорение свободного падения имеет на экваторе, где сила тяжести:

(4.13)

Поскольку , то на экваторе ( ) получим:

(4.14)