6. Планы семинарских занятий. Модуль 1

Тема 1.2. Экспериментальные основы квантовой механики (4 час.). Наблюдаемые и спектральные анализаторы. Вероятности и амплитуды микроскопических явлений. Свойства амплитуд вероятности, их изменения в пространстве и времени. Сложение и умножение амплитуд. Описание оптических явлений в терминах амплитуд: отражение, преломление, интерференция, дифракция. Принцип экстремальности фазы (Ферма), лучевая и волновая оптика. Оптико-механическая аналогия, гипотеза Де-Бройля, корпускулярная и волновая механика.

Примерные типы задач для самостоятельного решения

1. Построить траекторную модель сложного события в виде последовательных и альтернативных событий.

2. Вычислить амплитуду и вероятность события по заданной траекторной модели.

3. Построить интерференционную картину для заданных условий.

3. Определить применимость классической механики для указанной системы.

Тема 1.3. Математический аппарат квантовой механики (8 час.). Векторы. Линейные векторные пространства. Линейные операторы и их свойства. Собственные значения и собственные векторы операторов. Квантово-механическое состояние, вектор состояния, бра- и кет-векторы. Пространство состояний, его базисы, принцип суперпозиции. Преобразования базиса, унитарные операторы. Функции состояния и их представления. Взаимодействие системы с измерительным прибором, разложение состояния по базисным состояниям прибора, редукция суперпозиционных состояний. Квантово-механические операторы наблюдаемых, их матричные представления. Собственные векторы (собственные функции) и собственные значения операторов. Совместно-измеримые и совместно-неизмеримые наблюдаемые. Коммутаторы квантово-механических операторов. Принцип неопределенности (Гейзенберг). Спиновые свойства микрочастиц. Спиновой и магнитный моменты. Прибор Штерна-Герлаха. Характеристики спина: модуль и проекция, их допустимые значения. Мультиплетность. Спиновые волновые функции.

Симметрия, ее типы. Способы описания симметрии: операции и группы симметрии. Типы симметрии (неприводимые представления групп). Топологические графы. Спектральные свойства графов. Ассоциированные матрицы.

Примерные типы задач для самостоятельного решения

1. Построить вектор в виде линейной комбинации заданных векторов. Рассчитать нормы векторов и углы между ними.

2. Преобразовать вектор-строку и вектор-столбец при помощи указанного матричного оператора.

3. Найти матрицу оператора-произведения и оператора-прямой суммы по заданным операторам.

4. Найти коммутатор двух заданных матриц.

5. Для заданной матрицы найти собственные векторы и собственные значения.

6. Описать пространственную и перестановочную (ядерную) симметрию некоторой молекулы.

7. Для заданных операций симметрии построить матричное представление, указать инвариантные векторы.

8. Описать топологические свойства некоторой молекулы. Построить ее топологический граф и матрицу смежности.

Модуль 2

Тема 2.2. Квантово-механические модели (8 час.) Стационарное уравнение Шредингера и оператор Гамильтона. Построение оператора Гамильтона для частиц, атомов и молекул. Нахождение спектра оператора Гамильтона — стационарные состояния и их энергии. Временное уравнение Шредингера. Описание временной эволюции в представлении Шредингера. Операторы импульса и момента импульса, нахождение их спектров.

Свободная частица, волновые функции стационарных состояний. Спектры энергии и импульса.

Частица в потенциальном ящике, стационарные состояния, волновые функции, спектры энергии и импульса. Обобщение на трехмерный случай. Влияние массы частицы, размера и формы ящика. Адиабатические и неадиабатические процессы. Влияние внешних условий.

Одномерный осциллятор, стационарные состояния, волновые функции, спектр энергии. Обобщение на многомерный случай, модель нормальных колебаний. Влияние масс атомов и силовых постоянных связей в молекуле. Реальные молекулы, потенциал Морзе, ангармоничность.

Плоский ротатор, стационарные состояния, волновые функции и их полярные диаграммы, спектр энергии и момента импульса. Понятие о сферическом ротаторе. Влияние моментов инерции.

Нестационарные системы с двумя состояниями, их эволюция во времени. Квантово-механический резонанс. Образование химических связей на примере молекулярного иона водорода.

Примерные типы задач для самостоятельного решения

1. Определить качественный характер расположения энергетических уровней в потенциальной яме, в зависимости от ее формы и размера.

2. Вычислить изменение энергии частицы, запертой в прямоугольном потенциальном ящике, при заданном изменении размеров или формы ящика для нескольких стационарных состояний.

3. Построить энергетическую диаграмму для поступательных, вращательных и колебательных состояний некоторой молекулы.

4. Сравнить несколько молекул по величине плотности энергетических уровней в поступательном, вращательном, колебательном спектрах.

5. Оценить изменения энергетической диаграммы молекулы в результате замены одного из атомов (групп) на другой атом (группу).

6. Изобразить качественно график волновой функции для поступательных, вращательных и колебательных состояний по заданным квантовым числам.

7. Описать узловую структуру волновой функции модельной системы по заданным квантовым числам.

Тема 2.3. Статистическая механика (4 час.). Модель микроканонического ансамбля. Вычисление средних для изолированной системы. Локальные и глобальные характеристики. Статистическая энтропия. Модель канонического ансамбля. Вычисление средних для термостатированных систем. Вычисление среднего магнитного момента и магнитной восприимчивости. Модель большого канонического ансамбля. Вычисление адсорбционного равновесия.

Примерные типы задач для самостоятельного решения

1. Вычислить статистическую. сумму — поступательную, вращательную. колебательную — для заданной молекулы.

2. Оценить изменение статистической суммы для частицы, запертой в термостатированном ящике, при изменении размеров ящика и температуры термостата. Указать направления наблюдающихся переносов энергии в виде работы и теплоты.

3. Сравнить величины поступательных, вращательных и колебательных статистических сумм для нескольких заданных молекул, находящихся в одинаковых условиях.

4. Оценить влияние изотопных замещений на статистические суммы молекул.

5. Вычислить температуру по заданному среднему значению магнитного момента частицы.