Симплекс-метод, решение задачи с искусственным базисом

Искусственный начальный базис.

Если исходное ограничение записано в виде равенства "=" или имеет знак " ", то нельзя сразу получить допустимое начальное базисное решение, т. к. при записи задачи в стандартной форме, после введения дополнительных переменных может получиться вариант, когда полученные уравнения не позволяют сформировать начальный допустимый базис в виде единичных орт.

В этом случае для нахождения начального допустимого базиса вводятся дополнительно искусственные переменные . Искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, их введение допустимо только в том случае, если соответствующая схема вычислений будет обеспечивать получение оптимального решения, в котором все искусственные переменные окажутся равными нулю.

Переменные R определяют начальный допустимый базис с точки зрения возможного дальнейшего перехода в одну из вершин ОДР. За использование искусственных переменных в целевой функции вводится штраф М. В задаче максимизации М отрицательное (М<<0), в задаче минимизации М положительное (М>>0).

Свойство М: При сложении (вычитании) с любой конечной величиной , определяющей любое значение, которое может принимать каждая из переменных исходной ЗЛП, её значение (переменной М) не меняется, а именно,

При составлении начальной симплекс-таблицы все переменные начального допустимого базиса (дополнительные и искусственные) должны располагаться в последних m столбцах перед правой частью.

Алгоритм получения оптимального решения:

1. Переход от неравенств к равенствам с учётом правил перехода - введение остаточных, избыточных, искусственных переменных и коэффициентов штрафа;

2. Определение числа базисных и небазисных переменных;

3. Получение - строки для заполнения СТ(0). Для этого необходимо целевую функцию преобразовать к виду ; для чего из соответствующих равенств ограничений выразить искусственные переменные и подставить в строку и привести к рациональному виду;

4. Заполнение СТ(0). Перенесение коэффициентов - строки и равенств ограничений в соответствующие строки и столбцы симплекс-таблицы;

5. Исследование функции на условие оптимальности:

определение разрешающего столбца (по знаку и величине коэффициентов небазисных переменных - строки);

определение включаемой переменной из небазисных переменных;

6. Определение разрешающей строки по условию допустимости:

определение минимального отношения при делении правых частей ограничений на положительные коэффициенты разрешающего столбца;

определение исключаемой переменной из начального базиса;

7. Определение разрешающего элемента РЭ;

8. Получение B (0). Замена в матрице начального базиса коэффициентов исключаемой переменной на коэффициенты включаемой переменной; вычисление B (0) по соответствующему правилу;

9. Определение элементов СТ(1) = В(0) СТ(0);

10. Исследование -строки СТ(1) на условие оптимальности.

Если условие не выполнено, то вычисления продолжаются и необходимо повторить пункты 5-10.

Если условие оптимальности выполнено, то решение ЗЛП симплекс-методом закончено, необходимо выделить оптимальные значения переменных и оптимальное значение целевой функции.

Решим симплекс-методом задачу с искусственным базисом (хотя бы один знак неравенств-ограничений " ≥ " или " = ").

Запишем задачу в канонической форме (в виде системы уравнений, что требует симплекс-метод), для этого введем две переменные х3 ≥ 0 и х4 ≥ 0 получим:

Система ограничений предлагает только одну допустимую базисную переменную x₄, только она входит только в одно уравнение в третье с коэффициентом 1, поэтому в первое и второе уравнения добавляем искусственные переменные R₁ ≥ 0 и R₂ ≥ 0 Чтобы можно было применить симплекс-метод система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т.е. в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1, которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это R₁, R₂ и x₄. Получили так называемую М-задачу:

Данная система является системой с базисом, в которой R₁, R₂ и x₄ базисные переменные, а x₁, x₂ и x₃ свободные переменные, свободные члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:

симплекс-метод итерация 0

БП	x1	x2	x3	R1	R2	x4	свободные члены	Отношение
z	-4	-16	0	0	0	0	0	-
R1	3	4	-1	1	0	0	6	6/4=3/2
R2	1	3	0	0	1	0	3	3/3=1
x4	2	1	0	0	0	1	4	4/1=4
Оценка	-4	-7	1	-1	-1	0	-	-

В таблицу для задач с искусственным базисом добавлена строка «Оценка». Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки "Оценка" определяется разрешающий столбец пока она есть в таблице. Когда строка "Оценка" выйдет из таблицы (в базисе нет искусственных переменных) разрешающий столбец будет определяться по z-строке, как и в задаче с начальным базисом. В данной таблице разрешающий столбец х2, он выбран по наибольшей по модулю отрицательной оценке (-7). Разрешающая строка R2 выбрана по наименьшему отношению столбца "свободные члены" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, как и в задаче без искусственных переменных. Это значит, что на следующей итерации симплекс-метода переменная х2 из свободной перейдет в базисную, а переменная R2 из базисной – в свободную. Запишем следующую симплекс-таблицу:

симплекс-метод итерация 1

БП	x1	x2	x3	R1	R2	x4	Свободные члены	Отношение
z	4/3	0	0	0	16/30	0	16	-
R1	5/3	0	-1	1	-4/3	0	2	6/5
x2	1/3	1	0	0	1/3	0	1	3
x4	5/3	0	0	0	-1/3	1	3	9/5
Оценка	-5/3	0	1	-1	4/3	0	-	-

Разрешающий столбец х1, разрешающая строка R1, R1 выходит из базиса, x1 входит в базис. После этого в базисе не остается искусственных переменных, поэтому строки «Оценка» в следующей таблице нет:

симплекс-метод итерация 2

БП	x1	x2	x3	R1	R2	x4	свободные члены	Отношение
z	0	0	4/5	-4/5	32/5	0	72/5	-
x1	1	0	-3/5	3/5	-4/5	0	6/5	-
x2	0	1	1/5	-1/5	3/5	0	3/5	-
x4	0	0	1	-1	1	1	1	-

Далее разрешающий столбец выбирается по z-строке. В z-строке все коэффициенты неотрицательны кроме коэффициента при искусственной переменной R₁, который не влияет на оптимальность, когда искусственные переменные вышли из базиса. Следовательно, симплекс-методом получено оптимальное решение x1 = 6/5; x2 = 3/5; z_max = 72/5.