§3. Предел и непрерывность функции. Основные свойства элементарных трансцендентных функций.

Определение. Число А называется пределом функции при и обозначается , если .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если .

Определение. Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определение. Функция равномерно непрерывна на множестве , если .

Упражнение 3*. 1)Записать формальное (с использованием ) определение непрерывности ФКП на множестве . 2) Сравнить определение непрерывности и равномерной непрерывности ФКП на множестве.

Решение. 1) Функция непрерывна на множестве , если .

2)Равномерная непрерывность гарантирует непрерывность, обратное в общем случае неверно. Можно взять некоторую функцию (например, (частный случай ФКП)), и взять некоторую область (например (0;2)), где какой бы мы интервал не взяли, в той же области аргументы, отличные в пределах этого интервала, заставят функции принять такие значения, что .

Замечание. Исследование ФКП на предел в точке и непрерывность фактически эквивалентно исследованию двух функций действительного переменного (действительной и мнимой части функции) на предел и непрерывность.

Пример 1. Какую из функций можно непрерывно доопределить в точке ? (Т. е. какая функция имеет предел в 0?)

Предварительно дадим

Определение. (Предел функции по Гейне). Число называется пределом функции комплексного переменного в точке , если для любой последовательности .

Замечание. Можно показать, что это определение предела ФКП и данное в первой лекции определение (предел от ФКП по Коши) эквивалентны.

Решение примера 1. (Из существования предела в точке следует его существование по любому направлению и единственность значения)

Рассмотрим последовательности:

.

Функция на двух путях имеет разные значения, значит, предел не существует. Аналогично рассмотрим остальные функции.

- предел не существует.

- предел не существует.

.

Для функции пределы по этим последовательностям равняя.

Исследуя определения предела функции по Гейне, рассмотрим произвольную последовательность. .

.

Доказано: и можно доопределить нулём (непрерывно) в точке .

Перейдём к рассмотрению элементарных трансцендентных функций комплексного переменного. Эти функции можно определять с помощью сходящихся степенных рядов или как аналитическое продолжение на всю комплексную область или некоторую её подобласть соответствующих функций действительного переменного.

Определение. Функция комплексного переменного называется однолистной на , если для всех .

(то есть это – взаимооднозначное отображение.)

Формулы для элементарных трансцендентных функций.

1. 

2. ( - нулевая (главная) ветвь логарифма).

3. 

4. а. б.

5. а. б.

Как следует из формулы 1), , .

Пример 1. Найти все значения (многозначная функция, обратная к )

Решение. Обозначим

(В последнем выражении берётся уже не 2 значения корня, а все. Такой переход возможен, так как 2 значения отличаются только знаком. Можно также написать .)

Пример 2. Доказать, что не ограничен по модулю на комплексной плоскости.

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции.

.

Возьмём . Тогда .

Упражнение. Доказать .