2. Теоретическое исследование движения тела в жидкости методом классической динамики

2.1. Формулировка основного закона динамики.

К телу, погружённому в жидкость в условиях земной гравитации и не имеющему специальных движущих устройств (например, гребного винта), приложены три силы: сила тяжести , сила Архимеда и гидродинамическое сопротивление .

Считая тело однородным и центрально-симметричным, получаем, что при движении по вертикали равнодействующие всех трёх сил расположены на вертикальной прямой, проходящей через центр масс тела (рис.4).

Рис. 4.

Центр масс движется как материальная точка согласно II закону динамики Ньютона:

(7)

Здесь: m₀ – масса тела; – ускорение центра масс, направленное вдоль вертикали вверх или вниз в зависимости от соотношения сил G и F_A.

2.2. Движение тела с учётом линейного закона сопротивления

Проектируя уравнение (7) на ось Z (см. рис. 4) и применяя для силы F_S формулу (1), получим:

(8)

Здесь: m₀g и mg – значения силы тяжести и силы Архимеда; m – масса жидкости, вытесненной объёмом тела.

Разделив в (8) на массу тела m₀, запишем уравнение движения в виде:

(9)

Здесь введены обозначения:  =  / m₀ – постоянный удельный коэффициент сопротивления; , где  = ₀ – , ₀ – плотность тела,  – плотность жидкости. В формуле для величины b учтено, что m₀ = ₀ и m = , где  – объём тела.

Преобразуем (9) к форме линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:

(10)

Общее решение такого уравнения отыскивается в виде суммы: z = z₁ + z₂, где z₁ – решение соответствующего однородного уравнения, z₂ – частное решение неоднородного уравнения.

Выражение для z₁ легко определяется с помощью метода характеристических уравнений:

Для частного решения имеем:

Объединяя решения для z₁ и z₂ и определяя константы C₁ и C₂ с учётом начальных условий, получим формулы для закона движения и скорости центра масс тела:

(11)

(12)

Здесь: z₀, V₀ – начальные координата и скорость при t₀ = 0.

Отметим: если начало координат расположено на поверхности жидкости, тогда координата z определяет глубину погружения H центра масс тела. Начальная скорость определяется свободным падением тела в воздухе до соприкосновения с жидкостью.

В формулах (11), (12) коэффициент b называется коэффициентом плавучести. Если b<0 (при >₀), тогда тело, помещённое на глубине z₀, движется вверх (всплывает). Если b>0 (при ₀>), тогда тело движется вниз (тонет). Характер движения определяется знаком проекции скорости V, а также изменением координаты z.

С помощью формул (11) и (12) можно исследовать движение тела при разных коэффициентах . Для такого исследования необходимо построить графики зависимостей: z = z(t), V = V(t) и V = f(z).

Простой эксперимент с измерением времени погружения тела на некоторую заданную глубину H = z позволяет определить неизвестный коэффициент  с помощью формулы (11) и вычислить коэффициент сопротивления  = m₀.

2.3. Движение тела с учетом квадратичного закона сопротивления

Проектируя уравнение (7) на ось Z с учётом формулы (2) для силы F_S и выполняя простые преобразования (см. п.2.2), получим дифференциальное уравнение:

, (13)

где: ; - постоянный удельный коэффициент сопротивления.

Учитывая: ; и принимая b>0, преобразуем (13) к виду:

, (14)

где:

После интегрирования (14) с учётом начальных условий получаем выражение для скорости V в виде:

, (15)

где: A =  – V₀; B = + V₀; ; V₀ – начальная скорость.

Закон движения определяется выражением:

(16)

Формулы (15) и (16) позволяют выполнить количественные исследования (математическое моделирование) процесса движения тела в среде с квадратичным законом сопротивления.

При известной начальной скорости V₀, обеспечивающей выполнение квадратичного закона сопротивления, и при известном из опыта времени погружения на заданную глубину можно найти коэффициент  как решение интегрального уравнения (16).