2. Свойства параллельных плоскостей.

Теорема

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть α1 и α2 – параллельные плоскости, a и b – пересекающие их параллельные прямые, A1, A2 и B1, B2 – точки пересечения прямых с плоскостями. Проведем через прямые a и b плоскость. Она пересекает плоскости α1 и α2 по параллельным прямым A1B1 и A2B2. Четырехугольник A1B1B2A2 – параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, A1A2 = B1B2. Теорема доказана.

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед.

1. Тетраэдр.

Тетра́эдр (греч. четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

У любого тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр - правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра.

Перечислим теперь свойства тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности, включая определение:

(0) Грани равны

(1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны

(2) Трёхгранные углы равны.

(3) Противолежащие двугранные углы равны.

(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны.

(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

(6) Развёртка тетраэдра - треугольник или параллелограмм

(7) Описанный параллелепипед - прямоугольный.

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.

(10) Средние линии попарно перпендикулярны.

(11) Периметры граней равны.

(12) Площади граней равны.

(13) Высоты (тетраэдра) равны. 19=>18

(14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести противоположных граней, равны.

(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.

(16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы.

(17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы.

(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной.

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей.

(20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0.

(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2.

Все перечисленные условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра.

2. Параллелепипед.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d 2 = a 2+ b 2 + c 2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.