2. Углы с сонаправленными сторонами.

Теорема

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Рассмотрим углы О и О1 с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O равен углу O1.

Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О1 отрезки О1А1=ОА и 01В1=ОВ (рис. 25).

Четырехугольник ОО1А1А — параллелограмм, так как противоположные стороны OA и O1A1 параллельны и равны. Отсюда следует, что АА1||001 и AA1=OO1. Аналогично четырехугольник OO1BB1 — параллелограмм, поэтому ВВ1||001 и ВВ1=ОО1 .Так как АА1||ОО1 и BBl||001, то по теореме о трех параллельных прямых АА1||ВВ1. Кроме того, АА1=001=ВВ1. Таким образом, в четырехугольнике АВВ1А1 противоположные стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и значит, стороны АВ и А1В1 равны.

Сравним теперь треугольники АОВ и A1O1B1. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O равен углу O1 Теорема доказана.

3. Угол между прямыми.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Теорема.

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

§ 3. Параллельность плоскостей.

1. Параллельные плоскости.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Прямые АВ и АС параллельны плоскости Q .

Допустим, что плоскости Р и Q пересекаются по некоторой прямой DE (черт. 8). В таком случае AB||DE и AC||DE. Таким образом, в плоскости Р через точку А проходят две прямые АВ и АС, параллельные прямой DE, что невозможно. Значит, плоскости Р и Q не пересекаются.

Теорема.

Если две параллельные плоскостu пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Действительно, во-первых, прямые АВ и СD находятся в одной плоскости (R); во-вторых, они не могут пересечься, так как в противном cлучае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречит условию.

Теорема.

Отрезкu параллельных прямых , заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Через параллельные прямые АС и ВD проведём плоскость R; она пересечёт плоскости Р и Q по параллельным прямым АВ и СD следовательно, фигура АВDС есть параллелограмм, и потому АС||ВD.

Теорема.

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано выше; остаётся доказать, что углы А и А1 равны. Отложим на сторонах углов произвольные, но равные отрезки АВ = А1В1; АС = А1С1 и проведём прямые АА1, ВВ1, СС1, ВС и В1C1.Так как отрезки АВ и А1В1 равны и параллельны, то фигура АВВ1А1 есть параллелограмм; поэтому отрезки АА1 и ВВ1 равны и параллельны. По той же причине равны и параллельны отрезки АА1 и СС1, следовательно, ВВ1||СС1 и ВВ1= СС1.Поэтому ВС = В1С1 и /\ АВС = /\ А1В1С1 (по трём сторонам); значит, / А = / А1.