- •§1. Основы выборочного метода 6
- •§2. Статистическая проверка гипотез 45
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений 70
- •Введение
- •§1. Основы выборочного метода
- •1.1. Понятие о выборочном методе.
- •1.2. Методы группировки экспериментальных данных
- •1.3. Выборочные оценки и ошибки выборки
- •1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам
- •1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака
- •1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки генеральной средней
- •1.7. Оценка генеральной дисперсии
- •1.8. Простая случайная бесповторная выборка
- •1.9. Эмпирическая ковариация
- •1.10. Межгрупповая дисперсия
- •2) Межгрупповая дисперсия:
- •Упражнения
- •1.36. Признак X(к) задан на множестве следующей таблицей:
- •Задания для контрольной работы № 1.
- •§2. Статистическая проверка гипотез
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии
- •2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.
- •2.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях
- •2.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях
- •2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
- •2.7. Критерии согласия
- •2.8. Распределение долей признаков
- •2.9. Сравнение выборочной исправленной дисперсии с заданной дисперсией нормальной генеральной совокупности
- •Упражнения
- •2.10. Задания для контрольной работы № 2
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений
- •3.1. Методические указания к лабораторной работе
- •3.2. Задания для лабораторной работы
- •Приложения
- •Ответы к упражнениям
- •Заключение
1.8. Простая случайная бесповторная выборка
При оценке генеральных характеристик мы исходили из того, что выборка была произведена по схеме повторного случайного отбора. В случае бесповторной случайной выборки применяют те же формулы, что и для повторной выборки, но вычисление средних квадратических отклонений производится с поправочным коэффициентом.
. (1.26)
Оценка генеральной доли для бесповторной выборки есть .
Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли , причем её дисперсия
. (1.27)
Доказательство. мМтематическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому и для бесповторной выборки М , т.е. - несмещённая оценка для
Рассмотрим теперь дисперсию бесповторной выборки:
.
Случайная величина m в случае бесповторной выборки имеет гипергеометрическое распределение и
Подставим его в (*), получим:
При , т.е. если объём выборки много меньше N, можно считать, что выборка практически не отличается от повторной и дисперсии их приближённо равны, т.е.
Если то выборочная доля будет совпадать с генеральной, и её дисперсия будет равна нулю.
Рассмотрим теперь оценку генеральной средней для бесповторной выборки.
Теорема: бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка для генеральной средней , причем
(1.28)
Доказательство.Пусть X1, X2,…,Xk – зависимые случайные величины. все они распределены так же, как и в повторной выборке, с теми же частотами, что и в генеральной совокупности.
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
При этом E(xi) = – генеральная дисперсия.
Обозначим
(1.29)
Если , то С – генеральная дисперсия ( ),
Если , то С – ковариация (C = Cov(xi,xj)).
Выделим из слагаемых те n слагаемых, где , тогда
Пусть теперь объём выборки n = N, тогда x1,x2,…, xn – не случайные величины, и дисперсия такой «выборки» D = 0, т.е. 0.
Отсюда . Подставим это в последнее. равенство
.
Теорема о несмещённости и состоятельности оценки генеральной средней и об оценке дисперсии бесповторной выборки полностью доказана.
Пример 1.22. Для определения доли стандартных изделий в партии, содержащей 2500 деталей, произвели случайную бесповторную выборку объёмом 400 деталей.Доля стандартных деталей в ней оказалась равной 0,95. Известно также, что при повторной выборке того же объёма среднеквадратичное отклонение составляло Найти доверительную вероятность, если допустимая погрешность при определении этой доли равна ±2%
Решение. По условию ;N= 2500;
. Найти .
Пример 1.23. Выборочная совокупность объёмом 900 единиц является бесповторной и выделена из генеральной совокупности объемом 4500 единиц, при этом . Определить доверительные границы при оценке генеральной средней, которые можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Решение. По условию . Найти или .
Так как , то по таблицам
.
Доверительные границы: 15,5 - 0,23 и 15,5 + 0,23, т.е.
Заметим, что ошибка приближенного равенства для бесповторной выборки может быть вычислена по формуле:
(1.30)