- •§1. Основы выборочного метода 6
- •§2. Статистическая проверка гипотез 45
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений 70
- •Введение
- •§1. Основы выборочного метода
- •1.1. Понятие о выборочном методе.
- •1.2. Методы группировки экспериментальных данных
- •1.3. Выборочные оценки и ошибки выборки
- •1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам
- •1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака
- •1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки генеральной средней
- •1.7. Оценка генеральной дисперсии
- •1.8. Простая случайная бесповторная выборка
- •1.9. Эмпирическая ковариация
- •1.10. Межгрупповая дисперсия
- •2) Межгрупповая дисперсия:
- •Упражнения
- •1.36. Признак X(к) задан на множестве следующей таблицей:
- •Задания для контрольной работы № 1.
- •§2. Статистическая проверка гипотез
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии
- •2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.
- •2.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях
- •2.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях
- •2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
- •2.7. Критерии согласия
- •2.8. Распределение долей признаков
- •2.9. Сравнение выборочной исправленной дисперсии с заданной дисперсией нормальной генеральной совокупности
- •Упражнения
- •2.10. Задания для контрольной работы № 2
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений
- •3.1. Методические указания к лабораторной работе
- •3.2. Задания для лабораторной работы
- •Приложения
- •Ответы к упражнениям
- •Заключение
2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
Пусть случайные величины X и Y распределены по нормальному закону. По выборкам значений X объема n и Y объема m требуется проверить нулевую гипотезу H0 о равенстве дисперсий этих случайных величин: 2(X) = 2(Y).
Как обычно предположим вначале, что математические ожидания X и Y известны и рассмотрим случайную величину
, sx > sy. (2.7)
Указанная случайная величина распределена по закону Фишера-Снедекора со степенями свободы (n1) и (m1).
Пример 2.5. По двум независимым выборкам значений нормально распределенных случайных величин X и Y, объемы которых равны 9 и 6, найдены выборочные дисперсии = 23,27 и = 8,91. При уровне значимости = 0,1 проверить двустороннюю нулевую гипотезу H0: D(X) = D(Y) .
Решение. Поскольку sX > sY ,то находим значение критерия Фишера-Снедекора: . Число степеней свободы 8 и 5, а значение , по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора находим Fкр = 4,82. Поскольку Fнабл < Fкр, нулевая гипотеза принимается.
2.7. Критерии согласия
Критерии согласия предназначены для проверки того, что нулевая гипотеза H0 о виде распределения соответствует выборочным данным.
Рассмотрим таблицу выборочного закона распределения некоторого вариационного ряда. Наша задача состоит в том, чтобы, во-первых, подобрать соответствующий закон теоретического распределения. Предположим, что нам удалось найти некоторую теоретическую функцию плотности f(x), приближённо соответствующую данному вариационному ряду. Тогда, во-вторых, надо проверить насколько точно наши статистические данные соответствуют выбранному теоретическому распределению. В этом случае альтернативная гипотеза не выдвигается. Схема проверки нулевой гипотезы практически не изменяется.
Представим функцию f(x) виде гистограммы (см. рис.2.2), разбив размах выборки и предполагаемой генеральной совокупности на r разрядов.
Р ис. 2.2
Представим теоретические и полученные после предварительной обработки выборки частоты попадания случайной величины в соответствуюший разряд в виде следуюшей таблицы:
Интервалы |
x1; x2 |
x2; x3 |
… |
xr; xr+1 |
Теоретические частоты |
n1 |
n2 |
|
nr |
Эмпирические частоты |
m1 |
m2 |
… |
mr |
Предполагается, что объем выборки равен n, т.е.
m1 + m2 +…+ mr = n. (2.8)
По теоретическому закону распределения, заданному с помощью функции f(x), находим вероятности попадания случайной величины X в каждый из данных разрядов: p1, p2, …, pk. Затем вычисляем теоретические частоты ni, умножив вероятности на объем выборки: ni = npi. В качестве критерия согласия применяют критерий ("хи-квадрат") Пирсона:
. ( 2.9)
Распределение зависит только от одного параметра k числа степеней свободы. Число степеней свободы k равно числу разрядов r минус число независимых условий, наложенных на частоты mi.
Условие (2.8) накладывается всегда. Часто используют еще два условия: равенство среднего значения и математического ожидания и равенство выборочной и теоретической дисперсий. Поэтому обычно выполняется равенство
k = r 3. (2.10)
Пример 2.6. При уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты
mi |
4 |
27 |
73 |
135 |
128 |
78 |
50 |
5 |
ni |
5 |
27 |
70 |
125 |
137 |
82 |
48 |
6 |
Решение. Вычислим значение критерия Пирсона
= = 2,457.
Число степеней свободы в данном случае k = 8 3 = 5. По таблице критических точек распределения по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k = 5 находим = 11,1. Итак, < , поэтому можно принять нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Замечание. Критерий Пирсона, как показывает практика, успешно применяется для выборок объема n>50 и если все частоты ni = npi>5.