В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
Нехай задано довільну функцію .
Означення 12. Многочленом Тейлора n-го степеня, відповідним функції , називається такий многочлен
( 17 )
Означення 13.
Різниця n
раз диференційовної функції
та її мно-гочлена Тейлора
називається залишковим
членом і позначається
,
( 18 )
З формул (17), (18) випливає, що
( 19 )
Теорема 12. Для (n + 1) раз диференційовної функції залишковий член може бути представлений в формі (формі Лагранжа)
,
( 20 )
де c – деяка точка між x і .
■Нехай, для визначеності,
,
а
( 21 )
допоміжна функція. Очевидно, що
.
( 22 )
Застосовуючи n
раз теорему Коші
(з послідовною появою точок
таких, що
),
дістаємо
■
Зауваження. Залежно від способу міркувань існує багато форм залишко-вого члена (в формі Лагранжа (20), Коші, Пеано1 і т.ін).
Знаючи залишковий член , ми можемо подати функцію у вигляді
( 23 )
Означення 13. Формула (23), яка виражає функцію за допомогою її многочлена Тейлора і залишкового члена , називаєть-ся формулою Тейлора для цієї функції.
В частинному випадку формула називається формулою Маклоре-на.
Напишемо формули Тейлора і Маклорена з залишковим членом в формі Лагранжа в розгорнутому вигляді. Маємо:
( 24 )
( 25 )
Приклад. Розкласти
функцію
по формулі Маклорена.
Знаходимо похідні заданої функції та їх конкретні значення
,
,
після чого за формулою (25) отримуємо
.
(26)
Поклавши
,
( 27 )
знаходимо наближене значення функції з абсолютною похибкою
.
(28)
Приклад. Знайти
наближене значення числа
,
покладаючи
і
в формулах (27), (28). Маємо
,
,
або ж
,
де всі десяткові цифри – точні.
Приклад. Розвинути по формулі Маклорена функції
.
Дамо розв"язок для першої
з функцій,
.
Похідні функції дорівнюють
загалом (див. п. 2.2.3)
Значення функції та її похідних
в точці
дорівнюють
,
а значення
-ої
похідної в точці c
є
Тепер на підставі формули (25) дістаємо
.
(27)
Таким же чином розвивається за формулою Маклорена друга функція. Зробіть всі викладки самостійно, ми ж наведемо загальний результат
.(28)
Приклад. З формули (27) випливає, що
з абсолютною похибкою
Отже, з точністю до 0.001
,
якщо
,
або
.
Зауваження. Покладаючи
,
Ми можемо написати формулу Тейлора (24) за допомогою диференціалів
( 29 )