Б. Властивості неперервних функцій

1 (неперервність арифметичних операцій над неперервними функціями). Сума, різниця, добуток двох неперервних в точці функцій неперер-вні в цій точці. Відношення ж цих функцій неперервне в цій точці за умови

■Нехай, наприклад На підставі властивості 1 “арифме-тичних властивостей границь”

,

тобто добуток функцій є неперервним в точці .■

Приклад. Функції

неперервні: перша в усіх точках де , друга – в будь-якій точ-ці .

2 (неперервність суперпозиції функції). Якщо функція неперерв-на в точці , а функція неперервна у відповідній точці , то складена функція є неперервною в точці .

Це означає, що якщо і , то

.

Цю властивість можна довести в такий же спосіб, який ми використали при доведенні твердження про границю складеної функції (див. п. 1.3.3).

3 (неперервність оберненої функції). Якщо функція однієї змінної є неперервною і зростаючою (спадаючою) на відрізку , то її обернена функція є неперервною і та- Рис. 1 кож зростаючою (відповідно спадаючою) на від-різку (рис. 1).

Приклад. Функція

є неперервною і зростаючою на інтервалі , причому

.

Тому її обернена функція

(або ж )

є також неперервною і зростаючою на інтервалі .

Аналогічно встановлюється неперервність і зростання на обер-неної функції для неперервної і зростаючої на степеневої функції

з натуральним показником, а саме функції

(або ж )

Приклад. Функція

є неперервною і зростаючою на відрізку , причому

.

Тому її обернена функція

(або ж )

- неперервна і зростаюча на відрізку .

Аналогічно доводиться неперервність і зростання функції

на інтервалі ,

неперервність і спадання функцій

на відрізку ,

на інтервалі .

Приклад. Неперервність степеневої функції

для будь-якого дійсного показника степеня закладено в строге означення функції, яке в свою чергу базується на строгій теорії дійсного числа.

Приклад. Таким же чином неперервність закладено і в строге означення показникової функції

де а – дійсне число, яке задовольняє нерівність

.

Приклад. Неперервність і зростання (при ) або спадання (при ) логарифмічної функції

як оберненої для показникової, випливає з неперервності і зростання (відповід-но спадання) останньої.

З розглянутих прикладів і властивостей неперервних функцій випливає наступна теорема:

Теорема 3. Всі основні елементарні і елементарні функції неперервні в своїх областях визначення.

Фактично ми користувались цією теоремою при обчисленні границь. Зо-крема, при доведенні третьої стандартної границі ми скористалися неперервні-стю логарифма.

В. Точки розриву

Означення 6. Нехай функція є неперервною в деякому околі точки , за винятком самої цієї точки, тобто у виколеному околі точки. В такому випадку точка називається точкою розриву функції.

У випадку функції однієї змінної ми можемо класифіку-вати точки розриву. Це робиться в термінах лівої і правої границь

функції в точці , коли порушується принайм-ні одна з умов теореми 1 (див. рис. 2, 3). Рис. 2 1. Точкою розриву першого роду нази-вається точка , для якої існують як ліва, так і права границі (рис. 2). Розрив може реалізовуватися в такі три способи:

a) ліва і права границя функції в точці існують, але не є рівними,

(див рис. 2a); в цьому випадку різниця

називається стрибком (скінченним стрибком) функції в точці розриву ;

б) ліва і права границя функції в точці існують і є рівними,

,

але значення функції в точці , хоча і існує, та не дорівнює її лівій (правій) границі в цій точці (див. рис. 2b);

в) ліва і права границя функції в точці існують і є рівними,

,

але значення функції в точці не існує (див. рис. 2c).

У випадках б), в) точка називається точкою усувного розриву, оскіль-ки ми можемо "виправити" функцію в цій точці, розглянувши функцію, яка збігається з даною в усіх точках , а в точці має значення ,

Рис. 3 Функція є неперервною в точці , збігається з в усіх інших точках, і отже наявний розрив в точці "усунуто".

2. Точкою розриву другого роду називається точка , для якої принайм-ні одна з границь є нескінченною або взагалі не існує (рис. 3).

Наприклад, точки

,

є точками розриву другого роду відповідно тангенса і котангенса . Рис. 4 Наслідок. Графік функції однієї змінної, непе-рервної на якомусь інтервалі , є якась неперервна лінія (рис. 4).

Приклад. Вище (див. п. 1.3.3) ми показали, що

Отже, точка x = 2 є точкою розриву другого роду функції

.

Приклад. Точка x = 2 є точкою розриву першого роду функції

.

■Нехай

і .

Якщо , то, як було показано вище, , і

.

Якщо ж , то, як ми вже знаємо, , і

Отже,

,

і точка є точкою розриву першого роду. Стрибок функції в цій точці

.■

Приклад. Нехай

При якому значенні параметра a функція буде неперервною?

Функцію на двох різних інтервалах задано різними вира-зами. Вона, очевидно, є неперервною для всіх значень арґументу, крім, можли-во, точки стику . Тому треба забезпечити неперервність функції тільки в цій точці. Подальші міркування засновані на теоремі 1.

Ліва і права границі функції в точці дорівнюють

.

Для неперервності функції в точці повинна виконуватись умова

,

звідки випливає, що . Функція

є неперервною для всіх значень арґументу x.

Для функцій декількох змінних множина точок розриву може бути значно складнішою, ніж для функцій однієї змінної.

Приклад. Точки розриву функції двох змінних

утворюють цілу пряму, а саме x = y.