![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Задание 1
- •Доказать, что формулой определяется метрика в .
- •Доказать, что формулой определяется метрика в .
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
- •Задача 11
- •Задача 12
- •Библиографический список
- •Сборник индивидуальных заданий по функциональному анализу
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
Задача 2
Доказать,
что пространство
непрерывных на
функций с метрикой
является полным.
РЕШЕНИЕ
Метрическое
пространство
с метрикой
является полным, если любая его
фундаментальная последовательность
сходится в нем. Рассмотрим фундаментальную
последовательность
непрерывных на
функций. Следовательно,
Зафиксировав
,
получим числовую последовательность
,
обладающую свойством:
,
т.е.
.
По достаточному признаку Коши сходимости
числовой последовательности, следует,
что
.
Обозначим его
.
Таким
образом,
.
Вернемся к неравенству (2.1.1) и перейдем
в нем к пределу при
.
Получим, что
.
Откуда следует, что у функциональной
последовательности
существует предел, равный
.
Осталось показать, что
.
Рассмотрим:
В
силу сходимости функциональной
последовательности
,
по метрике
,
следует, что при достаточно большом
значении
,
и
.
Поэтому,
.
Теперь, в силу непрерывности функции
,
следует, что
.
Итак,
,
что и доказывает непрерывность функции .
Задача 3
Показать,
что отображение
,
где
является сжимающим и найти его неподвижную
точку.
РЕШЕНИЕ
Отображение
из одного метрического пространства
в другое
является
сжимающим (сжатием), если существует
такое число
,
что
.
В
пространстве
непрерывных функций на отрезке
метрика задается следующим образом:
.
Рассмотрим
Итак,
,
следовательно,
является сжатием. Так как пространство
является полным (см. пример 2), по принципу
сжимающих отображений у отображения
существует неподвижная точка
такая, что
.
Ее можно найти методом последовательных
приближений. За начальное приближение
возьмем
,
тогда
,
,
,
. . .
,
и так далее.
Причем
.
Итак,
неподвижной точкой отображения
является функция
.
Задача 4
Пусть
,
а топология
в нем определяется множествами
,
всевозможными интервалами
,
где
,
и любыми их объединениями. Найти предел
последовательности
.
РЕШЕНИЕ
Точка
топологического пространства
называется пределом последовательности
,
если любая ее окрестность содержит все
члены данной последовательности, начиная
с некоторого номера
.
Нетрудно видеть, что ни одна точка
,
,
не может быть пределом указанной
последовательности, т.к. любая ее
окрестность вида
содержит конечное число элементов
.
Рассмотрим точку
.
Поскольку любое объединение интервалов
эту точку не содержит, то в пространстве
единственной ее окрестностью является
само множество
(содержащее
все точки последовательности).
Следовательно, единственным пределом
последовательности
в пространстве
является точка
.
Задача 5
Является
ли нормой в пространстве
непрерывно дифференцируемых на
функций следующая функция
?
РЕШЕНИЕ
Линейное
пространство
над полем действительных чисел называется
нормированным, если каждому элементу
поставлено в соответствие неотрицательное
число
,
называемое нормой
,
так, что выполнимы следующие аксиомы:
;
и
;
.
Проверим
выполнение аксиом.
так как модуль любого числа является
числом неотрицательным. Если
на
,
то
.
Обратно, если
,
то
и
на
.
Следовательно,
(
=const).
Так как
,
то
,
т.е
на
.
Таким образом, первая аксиома выполняется.
Теперь вторая:
.
Проверим выполнение третьей аксиомы:
Итак, все три аксиомы выполняются. Следовательно, данная функция является нормой.